Problema di secondo grado con numeri naturali e consecutivo

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Problema di secondo grado con numeri naturali e consecutivo #63753

avt
tommy21
Cerchio
Dovrei risolvere un problema che mi chiede di trovare un numero naturale conoscendo il prodotto tra la sua metà e il suo consecutivo. In teoria dovrei impostare un'equazione di secondo grado, ma non capisco come.

Trovare un numero naturale sapendo che il prodotto della sua metà con il suo consecutivo è 210.

Grazie.
 
 

Problema di secondo grado con numeri naturali e consecutivo #63754

avt
Iusbe
Templare
Per affrontare l'esercizio, è sufficiente risolvere il problema con le equazioni. In termini più espliciti, dobbiamo estrapolare le informazioni che la traccia fornisce per costruire l'equazione risolvente.

Il testo ci chiede di trovare un numero naturale sapendo che il prodotto tra la sua metà e il suo consecutivo è 210.

Il numero rappresenta l'incognita del problema e per questo lo indichiamo con x. Dal punto di vista algebrico, la metà del numero si indica con (x)/(2), mentre il suo consecutivo si ottiene sommando 1 all'incognita, x+1.

Traduciamo nel linguaggio matematico la frase "il prodotto tra la sua metà e il suo consecutivo è 210", ottenendo

(x)/(2)·(x+1) = 210

Trasportiamo 210 al primo membro

(x)/(2)(x+1)-210 = 0

e sviluppiamo il prodotto

(x^2+x)/(2)-210 = 0

A questo punto calcoliamo il minimo comune multiplo

(x^2+x-420)/(2) = 0

e cancelliamo il denominatore comune, riconducendoci così all'equazione di secondo grado

x^2+x-420 = 0

i cui coefficienti sono

a = 1 ; b = 1 ; c = -420

Per determinare le soluzioni, possiamo calcolare il discriminante avvalendoci della formula

Δ = b^2-4ac = 1^2-4·1·(-420) = 1681

Poiché il delta è positivo, l'equazione risolvente ammette due soluzioni reali e distinte che ricaviamo con la relazione

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-1±√(1681))/(2) = (-1±41)/(2) = (-1-41)/(2) = -21 = x_1 ; (-1+41)/(2) = 20 = x_2

Attenzione! Il testo dell'esercizio pretende che la soluzione sia un numero naturale, mentre la formula risolutiva fornisce anche il numero intero negativo x_1 = -21 e in quanto tale va scartato.

L'unico valore che soddisfa le richieste dell'esercizio è x = 20, osserviamo che se moltiplichiamo la sua metà (10) per il suo consecutivo (21), otteniamo esattamente 210

10·21 = 210

Abbiamo finito.
Ringraziano: tommy21
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Os