Equazione in due incognite con logaritmo e radice

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Equazione in due incognite con logaritmo e radice #63746

avt
Iusbe
Templare
Mi è capitato un esercizio curioso sulle equazioni in due incognite nel quale mi viene chiesto di rappresentare nel piano cartesiano l'insieme delle soluzioni associato a un'equazione logaritmica in due incognite. Sono rimasto abbastanza perplesso perché non sembra così immediato rappresentare il luogo geometrico associato, anche perché nell'argomento di un logaritmo compare una radice quadrata.

Risolvere la seguente equazione logaritmica in due incognite rappresentando il luogo geometrico che definisce

\ln(\sqrt{x+1})-\ln(1-y)=\ln(2)

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, BleakHeart, Phi-ϕ-57, tommy21
 
 

Equazione in due incognite con logaritmo e radice #63796

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di rappresentare nel piano cartesiano il luogo geometrico associato all'equazione in due incognite

\ln(\sqrt{x+1})-\ln(1-y)=\ln(2)

nella quale sono presenti dei logaritmi, a causa dei quali saremo costretti a imporre le dovute condizioni di esistenza.

Affinché l'equazione non perda di significato, richiederemo che gli argomenti dei logaritmi siano maggiori di zero, ossia devono sussistere le seguenti relazioni

C.E.:\ \sqrt{x+1}>0 \ \ \ \wedge \ \ \ 1-y>0

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "et" e serve a precisare che le due disuguaglianze devono valere contemporaneamente.

Dall'analisi della prima disequazione ricaviamo un vincolo sull'incognita x, infatti:

\sqrt{x+1}>0 \ \ \ \to \ \ \ x+1>0 \ \ \ \to \ \ \ x>-1

Con la seconda disequazione vincoliamo invece la seconda incognita y

1-y>0 \ \ \ \to \ \ \ y<1

In definitiva, l'insieme di esistenza delle soluzioni è

C.E.:\ x>-1 \ \ \ \wedge \ \ \ y<1

Tutti i punti che non soddisfano entrambe le condizioni non possono essere soluzione dell'equazione in due incognite.

Procediamo con i passaggi algebrici: il trucco consiste nello sfruttare le proprietà dei logaritmi per poter ottenere l'equazione di una conica.

Isoliamo il termine logaritmico con la radice quadrata al primo membro

\\ \ln(\sqrt{x+1})-\ln(1-y)=\ln(2) \\ \\ \ln(\sqrt{x+1})=\ln(2)+\ln(1-y)

esprimiamo la radice sotto forma di potenza con esponente razionale

\ln((x+1)^{\frac{1}{2}})=\ln(2)+\ln(1-y)

e infine trasportiamo l'esponente della potenza (x+1)^{\frac{1}{2}} davanti al logaritmo

\frac{1}{2}\ln(x+1)=\ln(2)+\ln(1-y)

A questo punto moltiplichiamo per 2 sia a destra e che a sinistra

\ln(x+1)=2\ln(2)+2\ln(1-y)

e trasportiamo i coefficienti moltiplicativi all'interno degli argomenti dei due logaritmi del secondo membro

\\ \ln(x+1)=\ln(2^2)+\ln((1-y)^2) \\ \\ \ln(x+1)=\ln(4)+\ln((1-y)^2)

Siamo quasi in dirittura d'arrivo dal punto di vista algebrico: esprimiamo la somma di logaritmi come logaritmi del prodotto degli argomenti

\ln(x+1)=\ln(4(1-y)^2)

e infine sfruttiamo la condizione di uguaglianza tra due logaritmi: due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se i loro argomenti sono positivi e coincidono

x+1=4(1-y)^2 \ \ \ \to \ \ \  x=4(1-y)^2-1

Una volta sviluppato il quadrato di binomio e sommati tra loro i monomi simili, ricaviamo l'equazione

x=4y^2-8y+3

Nel piano cartesiano, essa individua una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ascisse.

Per poterla rappresentare, calcoliamo le coordinate del vertice e due punti qualsiasi che vi appartengono: indicati con a, \ b \ \mbox{e}\ c rispettivamente il coefficiente di y^2, quello di y e il termine noto

a=4 \ \ \ , \  \ \ b=-8 \ \ \ , \ \ \ c=3

le coordinate del vertice si ottengono mediante le relazioni

V\left(x_{V}, y_{V}\right)=\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}, -\frac{b}{2a}\right)=(-1,1)

Per ricavare i due punti per cui passa la parabola, è sufficiente fissare due valori arbitrari a y e determinare i valori associati a x dalla relazione

x=4y^2-8y+3

Se y=0, il valore associato è

x=4\cdot 0^2-8\cdot 0+3\ \ \ \to \ \ \ x=3

Se y=2, il valore associato è

x=4\cdot 2^2-8\cdot 2+3 \ \ \ \to \ \ \ x=3

Deduciamo pertanto che l'equazione

x=4y^2-8y+3

individua nel piano Oxy la parabola di vertice V(-1,1), passante per i punti

A(3,0)\ \ \ \mbox{e} \ \ \  B(3,2)

Di tutti i suoi punti, dobbiamo però prendere in considerazione quelli che soddisfano le condizioni

x>-1 \ \ \ \wedge \ \ \ y<1

vale a dire tutti quei punti che giacciono a destra della retta verticale di equazione x=-1 e sotto la retta orizzontale di equazione y=1. Il luogo geometrico associato all'equazione in due incognite è dunque:

Esercizi equazioni in due incognite XVI

Abbiamo portato a termine l'esercizio.
Ringraziano: Iusbe, tommy21
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