Equazione in due incognite con seno e coseno

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione in due incognite con seno e coseno #63494

avt
Iusbe
Templare
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni in due incognite che non riesco proprio a capire come risolvere. Per essere più precisi è un'equazione goniometrica con seno e coseno di cui devo rappresentare l'insieme delle soluzioni nel piano cartesiano.

Rappresentare nel piano cartesiano Oxy l'insieme delle soluzioni associato all'equazione in due incognite

\sin(\pi(x^2+y^2))\cos(\pi(x^2+y^2))=\frac{1}{2}

Cosa devo fare? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, Phi-ϕ-57
 
 

Equazione in due incognite con seno e coseno #63495

avt
Galois
Coamministratore
Per risolvere l'equazione in due incognite in seno e coseno

\sin(\pi(x^2+y^2))\cos(\pi(x^2+y^2))=\frac{1}{2}

moltiplichiamo per 2 i due membri

2\sin(\pi(x^2+y^2))\cos(\pi(x^2+y^2))=1

dopodiché applichiamo la formula di duplicazione del seno

2\sin(\alpha)\cos(\alpha)=\sin(2\alpha)\ \ \ \mbox{per ogni}\ \alpha\in\mathbb{R}

grazie alla quale l'equazione diventa

\sin(2\pi(x^2+y^2))=1

Ricordiamo che il seno di un angolo vale 1 se e solo se l'angolo differisce da \frac{\pi}{2} di un multiplo intero di angolo giro, pertanto la precedente equazione è soddisfatta dai punti che realizzano la relazione

2\pi(x^2+y^2)=\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k è un qualsiasi numero intero.

Dividiamo i due membri per 2\pi

x^2+y^2=\frac{\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2\pi}

e semplifichiamo in maniera opportuna riconducendoci così alla relazione

x^2+y^2=\frac{1}{4}+k\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

A conti fatti, essa è un'equazione dipendente dal parametro k\in\mathbb{Z} che analizzeremo partendo da una semplice considerazione.

Poiché a sinistra dell'uguale c'è una somma di quadrati, necessariamente il primo membro sarà positivo o al più nullo, pertanto richiederemo che anche il secondo membro lo sia altrimenti non può sussistere l'uguaglianza.

\frac{1}{4}+k\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge -\frac{1}{4}

Se k sottostà al vincolo k\ge -\frac{1}{4} allora

x^2+y^2=\frac{1}{4}+k

individua un fascio di circonferenze concentriche di centro C(0,0) e raggio

R=\sqrt{\frac{1}{4}+k}

D'altro canto, se k<-\frac{1}{4}, l'equazione

x^2+y^2=\frac{1}{4}+k

è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto.

In definitiva, possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione goniometrica in due incognite

\sin(\pi(x^2+y^2))\cos(\pi(x^2+y^2))=\frac{1}{2}

coincide con la famiglia di circonferenze concentriche, di centro C(0,0) e raggio R=\sqrt{\frac{1}{4}+k} dove k è un qualsiasi numero intero maggiore di -\frac{1}{4}.

Esercizi equazioni in due incognite XVIII

Abbiamo finito.
Ringraziano: Iusbe
  • Pagina:
  • 1
Os