Equazione in due incognite con seno e coseno

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Equazione in due incognite con seno e coseno #63494

avt
Iusbe
Templare
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni in due incognite che non riesco proprio a capire come risolvere. Per essere più precisi è un'equazione goniometrica con seno e coseno di cui devo rappresentare l'insieme delle soluzioni nel piano cartesiano.

Rappresentare nel piano cartesiano Oxy l'insieme delle soluzioni associato all'equazione in due incognite

sin(π(x^2+y^2))cos(π(x^2+y^2)) = (1)/(2)

Cosa devo fare? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, Galois, Phi-ϕ-57
 
 

Equazione in due incognite con seno e coseno #63495

avt
Galois
Amministratore
Per risolvere l'equazione in due incognite in seno e coseno

sin(π(x^2+y^2))cos(π(x^2+y^2)) = (1)/(2)

moltiplichiamo per 2 i due membri

2sin(π(x^2+y^2))cos(π(x^2+y^2)) = 1

dopodiché applichiamo la formula di duplicazione del seno

2sin(α)cos(α) = sin(2α) per ogni α∈R

grazie alla quale l'equazione diventa

sin(2π(x^2+y^2)) = 1

Ricordiamo che il seno di un angolo vale 1 se e solo se l'angolo differisce da (π)/(2) di un multiplo intero di angolo giro, pertanto la precedente equazione è soddisfatta dai punti che realizzano la relazione

2π(x^2+y^2) = (π)/(2)+2kπ

dove k è un qualsiasi numero intero.

Dividiamo i due membri per 2π

x^2+y^2 = ((π)/(2)+2kπ)/(2π)

e semplifichiamo in maniera opportuna riconducendoci così alla relazione

x^2+y^2 = (1)/(4)+k con k∈Z

A conti fatti, essa è un'equazione dipendente dal parametro k∈Z che analizzeremo partendo da una semplice considerazione.

Poiché a sinistra dell'uguale c'è una somma di quadrati, necessariamente il primo membro sarà positivo o al più nullo, pertanto richiederemo che anche il secondo membro lo sia altrimenti non può sussistere l'uguaglianza.

(1)/(4)+k ≥ 0 → k ≥ -(1)/(4)

Se k sottostà al vincolo k ≥ -(1)/(4) allora

x^2+y^2 = (1)/(4)+k

individua un fascio di circonferenze concentriche di centro C(0,0) e raggio

R = √((1)/(4)+k)

D'altro canto, se k < -(1)/(4), l'equazione

x^2+y^2 = (1)/(4)+k

è impossibile e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto.

In definitiva, possiamo concludere che l'insieme delle soluzioni associato all'equazione goniometrica in due incognite

sin(π(x^2+y^2))cos(π(x^2+y^2)) = (1)/(2)

coincide con la famiglia di circonferenze concentriche, di centro C(0,0) e raggio R = √((1)/(4)+k) dove k è un qualsiasi numero intero maggiore di -(1)/(4).

Esercizi equazioni in due incognite XVIII

Abbiamo finito.
Ringraziano: Iusbe
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Os