Esercizio equazione di secondo grado completa con i radicali

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Esercizio equazione di secondo grado completa con i radicali #63346

avt
Calabi
Cerchio
Non riesco a risolvere le equazioni di secondo grado, in special modo se hanno i radicali come coefficienti. Ad esempio, come posso risolvere il seguente esercizio?

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione di secondo grado a coefficienti irrazionali

(x+√(5))^2-x√(5) = 2(x-1)^2+x√(5)

Grazie.
 
 

Esercizio equazione di secondo grado completa con i radicali #63349

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione di secondo grado

(x+√(5))^2-x√(5) = 2(x-1)^2+x√(5)

Per ricavare le soluzioni, effettueremo tutti i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale. Per prima cosa sviluppiamo i due quadrati di binomio:

x^2+2√(5)x+(√(5))^2-x√(5) = 2(x^2-2x+1)+x√(5) ; x^2+2√(5)x+5-x√(5) = 2x^2-4x+2+x√(5)

dopodiché trasportiamo tutto a sinistra dell'uguale cambiando opportunamente i segni

x^2+2√(5)x+5-x√(5)-2x^2+4x-2-x√(5) = 0

A questo punto sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

-x^2+(4-√(5)+√(5))x+3 = 0

Semplifichiamo il coefficiente di x sommando tra loro i radicali simili

-x^2+4x+3 = 0

e cambiamo i segni ai due membri per fare in modo che il coefficiente di x^2 sia positivo

x^2-4x-3 = 0

Ora l'equazione è in forma normale, vale a dire nella forma

ax^2+bx+c = 0

e nel caso in esame i coefficienti a, b e c assumono i valori:

a = 1 ; b = -4 ; c = -3

Calcoliamo il discriminante con la formula

Δ = b^2-4ac = (-4)^2-4·1·(-3) = 16+12 = 28

e osserviamo che proprio la sua positività garantisce che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano con la relazione

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-(-4)±√(28))/(2·1) =

Semplifichiamo il radicale, trasportando fuori dalla radice il fattore 2, raccogliamo il fattore comune e semplifichiamolo con il denominatore:

= (4±2√(7))/(2) = (2(2±√(7)))/(2) = 2-√(7) = x_1 ; 2+√(7) = x_2

In conclusione, l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è:

S = 2-√(7), 2+√(7)

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Galois
  • Pagina:
  • 1
Os