Esercizio equazione di secondo grado completa con i radicali

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Esercizio equazione di secondo grado completa con i radicali #63346

avt
Calabi
Cerchio
Non riesco a risolvere le equazioni di secondo grado, in special modo se hanno i radicali come coefficienti. Ad esempio, come posso risolvere il seguente esercizio?

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione di secondo grado a coefficienti irrazionali

(x+\sqrt{5})^2-x\sqrt{5}=2(x-1)^2+x\sqrt{5}

Grazie.
 
 

Esercizio equazione di secondo grado completa con i radicali #63349

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di risolvere l'equazione di secondo grado

(x+\sqrt{5})^2-x\sqrt{5}=2(x-1)^2+x\sqrt{5}

Per ricavare le soluzioni, effettueremo tutti i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale. Per prima cosa sviluppiamo i due quadrati di binomio:

\\ x^2+2\sqrt{5}x+(\sqrt{5})^2-x\sqrt{5}=2(x^2-2x+1)+x\sqrt{5} \\ \\ x^2+2\sqrt{5}x+5-x\sqrt{5}=2x^2-4x+2+x\sqrt{5}

dopodiché trasportiamo tutto a sinistra dell'uguale cambiando opportunamente i segni

x^2+2\sqrt{5}x+5-x\sqrt{5}-2x^2+4x-2-x\sqrt{5}=0

A questo punto sommiamo tra loro i monomi simili e ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

-x^2+(4-\sqrt{5}+\sqrt{5})x+3=0

Semplifichiamo il coefficiente di x sommando tra loro i radicali simili

-x^2+4x+3=0

e cambiamo i segni ai due membri per fare in modo che il coefficiente di x^2 sia positivo

x^2-4x-3=0

Ora l'equazione è in forma normale, vale a dire nella forma

ax^2+bx+c=0

e nel caso in esame i coefficienti a, b \ \mbox{e} \ c assumono i valori:

a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=-4 \ \ \ ; \ \ \ c=-3

Calcoliamo il discriminante con la formula

\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)=16+12=28

e osserviamo che proprio la sua positività garantisce che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano con la relazione

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)\pm\sqrt{28}}{2\cdot 1}=

Semplifichiamo il radicale, trasportando fuori dalla radice il fattore 2, raccogliamo il fattore comune e semplifichiamolo con il denominatore:

=\frac{4\pm 2\sqrt{7}}{2}=\frac{2(2\pm\sqrt{7})}{2}=\begin{cases}2-\sqrt{7}=x_1 \\ \\ 2+\sqrt{7}=x_2\end{cases}

In conclusione, l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è:

S=\left\{2-\sqrt{7},\ 2+\sqrt{7}\right\}

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Galois
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Os