Equazione di secondo grado con coefficienti razionali

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Equazione di secondo grado con coefficienti razionali #63341

avt
woodok
Punto
In un esercizio mi viene chiesto di risolvere un'equazione di secondo grado a coefficienti fratti che secondo il risultato del libro è impossibile. Io ho tentato più volte di svolgerla ma senza successo perché probabilmente sbaglio i passaggi algebrici.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato alla seguente equazione di secondo grado a coefficienti fratti

\frac{(x-2)(x+2)}{3}+\frac{11}{9}+\frac{4-2x}{9}=0

Grazie.
Ringraziano: CarFaby
 
 

Equazione di secondo grado con coefficienti razionali #63345

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione

\frac{(x-2)(x+2)}{3}+\frac{11}{9}+\frac{4-2x}{9}=0

Per prima cosa osserviamo che essa è a coefficienti fratti, pertanto calcoleremo il minimo comune multiplo tra i denominatori così da ricondurci a un'equazione a coefficienti interi

\frac{3(x-2)(x+2)+11+4-2x}{9}=0

Utilizziamo il secondo principio di equivalenza che ci permette di moltiplicare i due membri per 9 e di ottenere così l'equazione equivalente

3(x-2)(x+2)+11+4-2x=0

Sfruttiamo la regola relativa al prodotto di una somma per una differenza per eseguire la moltiplicazione tra x+2\ \mbox{e} \ x-2

3(x^2-4)+11+4-2x=0

Eseguiamo la moltiplicazione rimasta e sbarazziamoci delle parentesi tonde

3x^2-12+11+4-2x=0

Sommiamo i monomi simili e ordiniamo il risultato secondo le potenze decrescenti di x

3x^2-2x+3=0

I passaggi algebrici ci hanno condotto a un'equazione di secondo grado completa del tipo:

ax^2+bx+c=0

dove i coefficienti a, b \mbox{ e }c valgono rispettivamente

a=3 \ \ \ ; \ \ \ b=-2 \ \ \ ;  \ \ \ c=3

Calcoliamo il discriminante associato mediante l'omonima formula

\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 3=-32

Proprio perché esso è negativo, possiamo affermare che l'equazione non ammette soluzioni reali e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto:

S=\emptyset

Abbiamo terminato.
Ringraziano: BleakHeart
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Os