Esercizio: risoluzione di un'equazione di secondo grado

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Esercizio: risoluzione di un'equazione di secondo grado #63248

avt
marioilcupo
Punto
Ho bisogno di una mano per risolvere un'equazione di secondo grado che però non è ancora espressa in forma normale. Ho tentato più volte di svolgere i calcoli ma le soluzioni non coincidono mai con quelle del testo, ecco perché chiedo il vostro intervento.

Determinare le eventuali soluzioni reali dell'equazione di secondo grado

(2x+1)^2-x^2-(x-1)^2=(2x+3)(2x-3)+1

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Esercizio: risoluzione di un'equazione di secondo grado #63249

avt
Ifrit
Amministratore
Per determinare le (eventuali) soluzioni dell'equazione di secondo grado

(2x+1)^2-x^2-(x-1)^2=(2x+3)(2x-3)+1

bisogna innanzitutto esprimerla in forma normale. Tanto per cominciare, sviluppiamo i due quadrati di binomio presenti al primo membro

4x^2+4x+1-x^2-(x^2-2x+1)=(2x+3)(2x-3)+1

dopodiché eseguiamo il prodotto tra la somma e la differenza dei monomi 2x\ \mbox{e} \ 3 riscrivendolo come differenza dei quadrati di questi ultimi

4x^2+4x+1-x^2-(x^2-2x+1)=4x^2-9+1

Usiamo la regola dei segni così da sbarazzarci delle parentesi tonde e trasportiamo in seguito tutti i termini al primo membro

\\ 4x^2+4x+1-x^2-x^2+2x-1=4x^2-9+1 \\ \\ 4x^2+4x+1-x^2-x^2+2x-1-4x^2+9-1=0

Sommiamo i monomi simili ricavando così l'equazione in forma normale

-2x^2+6x+8=0

Per questioni puramente estetiche, cambiamo i segni ai due membri così da rendere positivo il coefficiente di x^2

2x^2-6x-8=0

Detti a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=2 \ \ \ ; \ \ \ b=-6 \ \ \ ; \ \ \ c=-8

calcoliamo il discriminante associato mediante la formula

\Delta=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot 2\cdot (-8)=100

Poiché il delta è positivo, l'equazione di secondo grado ammette due soluzioni reali e distinte che si calcolano con la formula

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-6)\pm\sqrt{100}}{2\cdot 2}= \\ \\ \\ =\frac{6\pm 10}{4}=\begin{cases}\frac{6-10}{4}=\frac{-4}{4}=-1=x_1 \\ \\ \frac{6+10}{4}=\frac{16}{4}=4=x_2\end{cases}

Le soluzioni sono dunque

x_1=-1 \ \ \ ; \ \ \ x_2=4

Ecco fatto.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Galois, CarFaby, Iusbe, marioilcupo
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Os