Espressione con divisione di frazioni algebriche

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Espressione con divisione di frazioni algebriche #63226

avt
marioilcupo
Punto
Per favore potete spiegarmi come risolvere queste due espressioni con le frazioni algebriche?

\left ( \frac{2x-3}{2x+3}+\frac{2x+3}{2x-3}-\frac{4x^2+9}{4x^2-9} \right ):\frac{16x^4-81}{2x-3}

Molte grazie!

[Mod] Una delle due espressioni viene rimossa, si veda il messaggio successivo. [/Edit]
 
 

Espressione con divisione di frazioni algebriche #63234

avt
Omega
Amministratore
Ciao Marioilcupo, ti chiedo cortesemente di prendere visione delle linee guida del Forum. In via del tutto eccezionale rispondo a questa tua domanda (dovrei cancellarla) e in particolare ti invito a proporre un tentativo di risoluzione nelle tue discussioni future.

Dato che ogni discussione può trattare uno ed un solo argomento, mi limito a risolvere uno solo dei due esercizi che hai proposto. Scelgo a caso: il secondo.

Avrai modo di capire come procedere e di adeguarti di conseguenza tentando di risolvere la prima con indicazioni analoghe a quelle che sto per darti. emt

\left ( \frac{2x-3}{2x+3}+\frac{2x+3}{2x-3}-\frac{4x^2+9}{4x^2-9} \right ):\frac{16x^4-81}{2x-3}

La prima cosa da fare, quando ci troviamo di fronte ad un'espressione con le frazioni algebriche, consiste nel porre le condizioni di esistenza. Dobbiamo far sì che i denominatori non si annullino, dunque poniamo

2x+3\neq 0\ \to\ x\neq -\frac{2}{3}

2x-3\neq 0\ \to\ x\neq +\frac{2}{3}

4x^2-9\neq 0\ \to\ ?

Per l'ultima condizione dobbiamo scomporre il binomio con la regola della differenza di quadrati

4x^2-9\neq 0\ \to\ (2x-3)(2x+3)\neq 0\ \to\ x\neq \pm\frac{2}{3}

In sintesi le CE della frazione algebrica consistono in: x\neq\pm\frac{2}{3}.


Ora semplifichiamo l'espressione. La prima cosa da fare è sostituire il denominatore 4x^2-9 con la sua scomposizione, in modo da agevolare il calcolo del minimo comune multiplo dei polinomi. Questo ci serve per calcolare la somma e la differenza interne alle parentesi tonde.

\left ( \frac{2x-3}{2x+3}+\frac{2x+3}{2x-3}-\frac{4x^2+9}{(2x-3)(2x+3)} \right ):\frac{16x^4-81}{2x-3}

Ok, procediamo. Il denominatore comune è proprio (2x-3)(2x+3)

\frac{(2x-3)(2x-3)+(2x+3)(2x+3)-(4x^2+9)}{(2x-3)(2x+3)} :\frac{16x^4-81}{2x-3}

Sviluppiamo i conticini del numeratore. Occhio al segno meno dell'ultima parentesi!

\frac{4x^2-12x+9+4x^2+12x+9-4x^2-9}{(2x-3)(2x+3)} :\frac{16x^4-81}{2x-3}

Sommiamo e sottraiamo i monomi simili

\frac{4x^2+9}{(2x-3)(2x+3)} :\frac{16x^4-81}{2x-3}

Ok, ora possiamo calcolare la divisione tra le due frazioni algebriche. Scriviamo la divisione come prodotto

\frac{4x^2+9}{(2x-3)(2x+3)} \cdot \frac{2x-3}{16x^4-81}

e scomponiamo il denominatore della seconda frazione. Anche qui usiamo la regola per la differenza di quadrati

\frac{4x^2+9}{(2x-3)(2x+3)} \cdot \frac{2x-3}{(4x^2-9)(4x^2+9)}

Semplifichiamo a croce

\frac{1}{(2x+3)(4x^2-9)}

e abbiamo finito. Se vuoi puoi scrivere il risultato finale nella forma

\frac{1}{(2x+3)(2x-3)(2x+3)}

o ancora come

\frac{1}{(2x-3)(2x+3)^2}
Ringraziano: Pi Greco, Galois, marioilcupo
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