Equazione trigonometrica in due incognite

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Equazione trigonometrica in due incognite #63024

avt
einstein
Punto
Dovrei determinare l'insieme delle soluzioni associato a un'equazione in due incognite in cui compaiono seno e coseno. Il mio professore dice che con una sostituzione opportuna posso ricondurmi a un'equazione goniometrica lineare, cosa che ho messo in atto, ma poi?

Analizzare dettagliatamente l'insieme delle soluzioni dell'equazione goniometrica in due incognite

\sin(\pi(y-x^2))+\cos(\pi(y-x^2))=1

Grazie.
Ringraziano: Phi-ϕ-57
 
 

Equazione trigonometrica in due incognite #63408

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di analizzare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione in due incognite

\sin(\pi(y-x^2))+\cos(\pi(y-x^2))=1

Per poter raggiungere il nostro obiettivo, possiamo operare la sostituzione

t=\pi(y-x^2)

grazie alla quale ci riconduciamo a un'equazione goniometrica lineare espressa in termini di seno e coseno

\sin(t)+\cos(t)=1

Per ottenere i valori di t che realizzano l'equazione, procediamo con il metodo dell'angolo aggiunto. Esso prevede di calcolare un numero reale positivo R e un angolo \phi che consentono di esprimere la somma

\sin(t)+\cos(t)

nella forma

R\sin(t+\phi)

Sia R\ \mbox{che} \ \phi si ricavano a partire dai coefficienti dell'equazione goniometrica. In particolare, detto A il coefficiente di \sin(t) e B il coefficiente di \cos(t), ossia

A=1 \ \ \ , \ \ \ B=1

allora il numero reale R si ricava con la formula

R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

mentre \phi è l'unico angolo dell'intervallo [0,2\pi) che soddisfa il sistema goniometrico

\begin{cases}\cos(\phi)=\dfrac{A}{R} \\ \\ \sin(\phi)=\dfrac{B}{R}\end{cases}

cioè

\begin{cases}\cos(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

da cui \phi=\frac{\pi}{4}. Noti R\ \mbox{e} \ \phi possiamo scrivere l'identità

\sin(t)+\cos(t)=\sqrt{2}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right) \ \ \ \mbox{per ogni} \ t\in\mathbb{R}

di conseguenza l'equazione lineare diventa

\sqrt{2}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=1

] Dividiamo i due membri per \sqrt{2}, ricavando così l'equazione goniometrica elementare

\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

che possiamo risolvere ricordando che il seno di un angolo è pari a \frac{1}{\sqrt{2}} se e solo se l'angolo vale

\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \frac{3\pi}{4}+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Questa considerazione consente di costruire le seguenti equazioni nell'incognita t

\\ t+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z} \\ \\ \\ t+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

dalle quali ricaviamo

\\ t=2k\pi \\ \\ \\ t=\frac{\pi}{2}+2k\pi

È giunto il momento di ripristinare le incognite x\ \mbox{e} \ y: poiché abbiamo posto t=\pi (y-x^2), la relazione

t=2k\pi

si traduce nell'equazione in due incognite

\pi(y-x^2)=2k\pi \ \ \ \to \ \ \ y-x^2=2k \ \ \ \to \ \ \ y=x^2+2k

Dal punto di vista geometrico

y=x^2+2k

individua una famiglia di parabole con lo stesso asse di simmetria.

Indichiamo con a, \ b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=0 \ \ \ , \ \ \  c=2k

e determiniamo le principali caratteristiche geometriche della famiglia: fissato k\in\mathbb{Z}, le coordinate del vertice si calcolano con le relazioni

V\left(x_{V}, y_{V}\right)=\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)=(0,2k)

Le coordinate del fuoco sono invece

F(x_F, y_F)=\left(-\frac{b}{2a}, \frac{1-(b^2-4ac)}{4a}\right)=\left(0,\frac{1+8k}{4}\right)

L'equazione dell'asse di simmetria è

x=-\frac{b}{2a}\ \ \ \to \ \ \ x=0

mentre l'equazione della direttrice della parabola è

y=-\frac{1+b^2-4ac}{4a} \ \ \ \to \ \ \ y=\frac{8k-1}{4}

Osserviamo che al variare di k, l'equazione individua una famiglia di parabole congruenti infatti si ottengono traslando verticalmente la parabola di equazione

y=x^2

Dalla relazione

t=\frac{\pi}{2}+2k\pi

ricaviamo invece l'equazione

\pi (y-x^2)=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ y-x^2=\frac{1}{2}+2k\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

o scritta in maniera equivalente

y=x^2+\frac{1}{2}+2k

Al variare di k\in\mathbb{Z}, otteniamo una nuova famiglia di parabole, di vertici

V(x_V, y_V)=\left(0, \frac{1}{2}+2k\right)\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

e fuochi

F(x_F, y_F)=\left(0,\frac{3+2k}{4}\right)

Chiaramente per ottenere le coordinate dei fuochi e dei vertici bisogna avvalersi delle stesse formule usate in precedenza.

Rappresentando le due famiglie di parabole nel medesimo piano cartesiano, otteniamo il seguente grafico

Esercizi equazioni in due incognite XIX

Esercizio terminato.
Ringraziano: Phi-ϕ-57
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Os