Esercizio: dividere un polinomio per un altro polinomio

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Esercizio: dividere un polinomio per un altro polinomio #62965

avt
FAQ
Frattale
Mi serve il vostro aiuto per svolgere una divisione tra polinomi a coefficienti fratti. Ci ho provato in tutti i modi, ho fatto più volte i calcoli, però il quoziente e il resto che ottengo non sono uguali a quelli del libro.

Esegui la seguente divisione tra polinomi

\left(-\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{4}x^3-x-3\right):\left(\frac{1}{4}x^2+x\right)

Verificare infine che i risultati ottenuti siano corretti.

Grazie
 
 

Esercizio: dividere un polinomio per un altro polinomio #62999

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro obiettivo consiste nel calcolare il quoziente e il resto della divisione polinomiale

\left(-\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{4}x^3-x-3\right):\left(\frac{1}{4}x^2+x\right)

Indichiamo, per semplicità di esposizione, con N(x) \ \mbox{e} \  D(x) rispettivamente il dividendo e il divisore:

\\ N(x)=-\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{4}x^3-x-3 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ D(x)=\frac{1}{4}x^2+x

dopodiché osserviamo che N(x) è un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti di x, però non è un polinomio completo, infatti manca il termine quadratico. Per quanto concerne il divisore, D(x) è ordinato, ma non è completo, infatti è assente il termine noto (o meglio, il termine noto è zero). Poco male, possiamo inserire gli utili zeri segnaposto nel dividendo, mentre possiamo fare a meno per il polinomio divisore:

N(x)=-\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{4}x^3+0x^2-x-3

Rappresentiamo lo schema per la divisione polinomiale e completiamolo passaggio per passaggio!

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2+x\\ \cline{6-8}&&&&&&&\end{array}

Dividiamo innanzitutto il termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado massimo del divisore così da ricavare il primo termine del quoziente:

-\frac{1}{2}x^4:\left(\frac{1}{4}x^2\right)=-\frac{1}{2}\cdot 4\cdot x^{4-2}=-2x^2

Riportiamo il risultato sotto il divisore

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&&\end{array}

Moltiplichiamo -2x^2 per ciascun termine del divisore, incolonniamo i prodotti cambiati di segno sotto il dividendo

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&&\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}&&&&&&&\end{array}

e infine sommiamo i monomi simili riportando i risultati sotto la linea di separazione

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&&\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}//&\dfrac{9}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&&&\end{array}

Il resto parziale ha grado 3 che è maggiore del grado del polinomio divisore, per cui dobbiamo necessariamente continuare con l'algoritmo della divisione.

Per ricavare il secondo termine del quoziente, dividiamo il termine di grado massimo del resto parziale per il termine di grado massimo del divisore:

\frac{9}{4}x^3:\left(\frac{1}{4}x^2\right)=\frac{9}{4}\cdot 4\cdot x^{3-2}=9x

per cui la tabella diventa:

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&+9x&\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}//&\dfrac{9}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&&&\end{array}

Moltiplichiamo 9x per ciascun termine del divisore e incolonniamo i vari prodotti cambiati di segno sotto il resto parziale

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&+9x&\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}//&\dfrac{9}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&&&\\&&&&&&&\\ &-\dfrac{9}{4}x^3&-9x^2&&&&&\\ \cline{1-5}&&&&&&&\end{array}

Addizioniamo termine a termine e riportiamo le somme sotto la linea di separazione

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&+9x&\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}//&\dfrac{9}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&&&\\&&&&&&&\\ &-\dfrac{9}{4}x^3&-9x^2&&&&&\\ \cline{1-5}&//&-9x^2&-x&-3&&&\end{array}

Il grado del secondo resto parziale coincide con quello del divisore, pertanto siamo costretti a continuare la divisione. Il terzo termine del quoziente è il risultato della divisione tra i monomi -9x^2\ \mbox{e} \ \frac{1}{4}x^2

-9x^2:\left(\frac{1}{4}x^2\right)=-9\cdot 4x^{2-2}=-36

Riportiamolo nella tabella

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&+9x&-36\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}//&\dfrac{9}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&&&\\&&&&&&&\\ &-\dfrac{9}{4}x^3&-9x^2&&&&&\\ \cline{1-5}&//&-9x^2&-x&-3&&&\end{array}

e moltiplichiamolo per ciascun termini del divisore, riportando i prodotti, cambiati di segno, sotto il resto parziale.

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&+9x&-36\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}//&\dfrac{9}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&&&\\&&&&&&&\\ &-\dfrac{9}{4}x^3&-9x^2&&&&&\\ \cline{1-5}&//&-9x^2&-x&-3&&&\\&&&&&&\\ &&+9x^2&+36x&&&&&\cline{3-5}&&&&&&\end{array}

Addizioniamo i monomi simili e scriviamo le somme al di sotto della linea di separazione.

\begin{array}{ccccc|ccc}-\dfrac{1}{2}x^4&+\dfrac{1}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&\dfrac{1}{4}x^2&+x&\\ \cline{6-8}&&&&&-2x^2&+9x&-36\\ +\dfrac{1}{2}x^4&+2x^3&&&&&&\\ \cline{1-5}//&\dfrac{9}{4}x^3&+0x^2&-x&-3&&&\\&&&&&&&\\ &-\dfrac{9}{4}x^3&-9x^2&&&&&\\ \cline{1-5}&//&-9x^2&-x&-3&&&\\&&&&&&\\ &&+9x^2&+36x&&&&&\cline{3-5}&&//&35x&-3&&\end{array}

L'algoritmo della divisione ha finalmente termine perché il grado del resto è minore del grado del divisore: non ci resta altro da fare se non estrapolare il polinomio quoziente e il resto.

Q(x)=-2x^2+9x-36 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ R(x)=35x-3

Controlliamo la correttezza dei risultati verificando l'uguaglianza:

Q(x)D(x)+R(x)=N(x)

Sviluppiamo i calcoli al primo membro partendo dal prodotto tra il polinomio quoziente e il polinomio divisore

\\ (-2x^2+9x-36)\left(\frac{1}{4}x^{2}+x\right)+(35x-3)= \\ \\ \\ =-\frac{1}{2}x^4-2x^3+\frac{9}{4}x^3+9x^2-9x^2-36x+35x-3=

e infine sommiamo monomi simili tra loro

=-\frac{1}{2}x^4+\frac{1}{4}x^3-x-3

Poiché il polinomio ottenuto coincide con il dividendo, concludiamo che l'esercizio è stato svolto correttamente.
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