Equazione di secondo grado con formula del discriminante

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Equazione di secondo grado con formula del discriminante #62880

avt
matteo
Sfera
Mi è capitata un'equazione di secondo grado a coefficienti fratti da risolvere con la formula del delta. Il mio problema di fondo non è tanto usare le formule, sono i coefficienti fratti che mi fanno sbagliare i calcoli. Spero possiate aiutarmi.

Calcolare le eventuali soluzioni della seguente equazione di secondo grado a coefficienti fratti

(x^2)/(4)-(x)/(3)+(1)/(9) = 0

Grazie.
 
 

Equazione di secondo grado con formula del discriminante #62897

avt
Omega
Amministratore
Prima di avventurarci nei calcoli per risolvere l'equazione di secondo grado

(x^2)/(4)-(x)/(3)+(1)/(9) = 0

è necessario effettuare alcune considerazioni. La prima riguarda la forma in cui l'equazione si presenta: essa è chiaramente espressa in forma normale vale a dire nella forma

ax^2+bx+c = 0 con a ne 0

dove a, b e c sono rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto. Nel caso in esame i coefficienti sono:

a = (1)/(4) ; b = -(1)/(3) ; c = (1)/(9)

Proprio perché l'equazione è già espressa in forma normale possiamo pensar bene di applicare la formula del discriminante e calcolare le soluzioni dell'equazione:

Δ = b^2-4ac = (-(1)/(3))^2-4·(1)/(4)·(1)/(9) = (1)/(9)-4·(1)/(4)·(1)/(9) = (1)/(9)-(1)/(9) = 0

Il discriminante è zero pertanto l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti che determiniamo mediante la relazione

x_1 = x_2 = (-b±√(Δ))/(2a) = -(b)/(2a) = -(-(1)/(3))/(2·(1)/(4)) =

Semplifichiamo il 2 con il 4 al denominatore principale

= -(-(1)/(3))/((1)/(2)) =

e infine scriviamo in forma normale la frazione di frazioni moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale

= -(-(1)/(3))·2 = (2)/(3)

In definitiva, concludiamo che le due soluzioni reali e coincidenti sono

x_1 = x_2 = (2)/(3)

dunque l'equazione è determinata e il suo insieme soluzione è

S = (2)/(3)

Abbiamo risolto l'equazione, ma che fatica! I coefficienti fratti rendono i calcoli più complicati. Possiamo aggirare il problema passando dall'equazione data a una equivalente a coefficienti interi: ecco come.

Riconsideriamo l'equazione di partenza

(x^2)/(4)-(x)/(3)+(1)/(9) = 0

Calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo:

(9x^2-12x+4)/(36) = 0

A questo punto interviene il secondo principio di equivalenza che permette di cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente

9x^2-12x+4 = 0

Siamo quindi passati da un'equazione a coefficienti fratti a un'altra che però è a coefficienti interi che valgono:

a = 9 ; b = -12 ; c = 4

Calcoliamo il discriminante con la formula già vista in precedenza

Δ = b^2-4ac = (-12)^2-4·9·4 = 144-144 = 0

Ancora una volta ricaviamo la nullità del discriminante - come c'era d'aspettarsi dopotutto - di conseguenza le soluzioni sono reali e coincidenti e valgono:

x_1 = x_2 = -(b)/(2a) = -(-12)/(2·9) = (2)/(3)

In conclusione, è sempre cosa buona e giusta ricondursi a un'equazione a coefficienti interi se possibile: i calcoli diventano molto più semplici.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, CarFaby, Iusbe
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