Risolvere un'equazione di secondo grado per scomposizione

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Risolvere un'equazione di secondo grado per scomposizione #62692

avt
woodok
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni di secondo grado a coefficienti fratti alquanto particolare. In buona sostanza devo risolvere un'equazione di secondo grado usando la regola di Ruffini e sinceramente non capisco come fare a causa dei coefficienti fratti.

Risolvere la seguente equazione di secondo grado a coefficienti fratti scomponendo il polinomio mediante la regola di Ruffini.

x^2-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Risolvere un'equazione di secondo grado per scomposizione #62699

avt
Ifrit
Amministratore
Il testo chiede di determinare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}=0

scomponendo il polinomio al primo membro mediante la regola di Ruffini.

Potremmo pensare di applicare la regola di scomposizione sul trinomio

x^2-\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}

ma i coefficienti fratti non aiutano affatto. Aggiriamo il problema, riscrivendo l'equazione in maniera equivalente calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{2x^2-5x-3}{2}=0

e avvalendoci del secondo principio di equivalenza per le equazioni cancelliamo il denominatore comune riconducendoci così a:

2x^2-5x-3=0

Tentiamo di scomporre il polinomio al primo membro mediante la regola di Ruffini, esplicitando i divisori interi del termine noto e quelli del coefficiente di x^2:

\\ \mbox{Div}(-3)=\{-3,\ -1,\ 1,\ 3\} \\ \\ \mbox{Div}(2)=\{-2,\ -1,\ 1,\ 2\}

dopodiché consideriamo tutte le frazioni aventi per numeratore un divisore del termine noto e per denominatore un divisore del coefficiente di x^2

\left\{\pm\frac{3}{2},\ \pm 3,\ \pm \frac{1}{2},\ \pm 1\right\}

Tra questi si nasconde un numero (o più di uno) che annulla il polinomio

P(x)=2x^2-5x-3

e rappresenta il valore che permette di innescare il metodo di Ruffini. Per capire qual è il numero di cui abbiamo bisogno, calcoliamo le valutazioni di P(x), cominciando da x=-\frac{3}{2}

P\left(-\frac{3}{2}\right)=2\left(-\frac{3}{2}\right)^2-5\left(-\frac{3}{2}\right)-3=9

Il polinomio non si annulla, dunque non è il numero richiesto.

Per x=\frac{3}{2} ricaviamo

P\left(\frac{3}{2}\right)=2\left(\frac{3}{2}\right)^2-5\left(\frac{3}{2}\right)-3=-6

Nulla di fatto.

Per x=3

P(3)=2\cdot 3^2-5\cdot 3-3=18-18=0

Ottimo abbiamo trovato la radice con cui innescare il metodo di Ruffini. Costruiamo la tipica tabella ed eseguiamo tutti i passaggi necessari per completarla

\begin{array}{c|cccc|c}&2&&&-5&-3\\ &&&&& \\ 3&&&&6&3 \\ \hline &2&&&1&//\end{array}

Grazie alla tabella deduciamo la scomposizione del polinomio

2x^2-5x-3=(x-3)(2x+1)

dunque l'equazione si riscrive come

(x-3)(2x+1)=0

Essa può essere risolta mediante la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al membro di sinistra è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo. Scriviamo quindi

\\ x-3=0\\ \\ 2x+1=0

Esse sono sostanzialmente due equazioni di primo grado e ne determineremo le soluzioni isolando l'incognita a sinistra dell'uguale

\\ x-3=0 \ \ \ \to \ \ \ x=3 \\ \\ 2x+1=0 \ \ \ \to \ \ \ 2x=-1 \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{1}{2}

Siamo finalmente in grado di concludere che l'equazione data ammette due soluzioni reali e distinte:

x_1=-\frac{1}{2} \ \ \ ; \ \ \ x_2=3

ed è dunque determinata.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os