Esercizio equazione esponenziale con esponenti fratti

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Esercizio equazione esponenziale con esponenti fratti #62638

avt
matdom
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un'equazione esponenziale caratterizzata dalla presenza di esponenti fratti. È la prima volta che mi capita una tipologia simile e non so come approcciarmi.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

2^{\tfrac{x}{x+1}}\cdot 2^{\tfrac{x}{x+2}}=2

Grazie.
Ringraziano: Omega, Galois
 
 

Esercizio equazione esponenziale con esponenti fratti #62652

avt
Pi Greco
Kraken
Prima di calcolare le soluzioni dell'equazione esponenziale

2^{\tfrac{x}{x+1}}\cdot 2^{\tfrac{x}{x+2}}=2

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori in cui l'incognita compare siano diversi da zero, ossia:

C.E.: \ x+1\ne 0 \ \ \ \wedge \ \ \ x+2\ne 0

dove \wedge è il connettivo logico che indica la congiunzione "e". I due vincoli devono valere contemporaneamente, per questo motivo considereremo il sistema

\begin{cases}x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1\\ \\ x+2\ne 0\ \ \ \to \ \ \ x\ne -2\end{cases}

da cui ricaviamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui

C.E.:\  x\ne -1 \ \ \ \wedge \ \ \ x\ne -2

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo svolgere i passaggi algebrici: utilizzeremo le proprietà delle potenze per poterci ricondurre a una delle forme normali.

Il primo membro dell'equazione

2^{\tfrac{x}{x+1}}\cdot 2^{\tfrac{x}{x+2}}=2

non è altro che il prodotto di due potenze con la stessa base e, grazie alla proprietà omonima, possiamo esprimerlo come una potenza avente per base 2 e per esponente la somma degli esponenti:

2^{\tfrac{x}{x+1}+\tfrac{x}{x+2}}=2

Ci siamo ricondotti all'uguaglianza tra due potenze con la medesima base (2) che sussiste se e solo se coincidono i rispettivi esponenti, ossia

\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x+2}=1

Non ci resta che risolvere l'equazione fratta di secondo grado per ottenere le soluzioni di quella iniziale.

Trasportiamo tutti i termini a sinistra

\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x+2}-1=0

calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi ai denominatori

\frac{x(x+2)+x(x+1)-(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}=0

e svolgiamo i calcoli

\\ \frac{x^2+2x+x^2+x-(x^2+2x+x+2)}{(x+1)(x+2)}=0 \\ \\ \\ \frac{x^2+2x+x^2+x-x^2-3x-2}{(x+1)(x+2)}=0 \\ \\ \\ \frac{x^2-2}{(x+1)(x+2)}=0

Moltiplichiamo i due membri per il denominatore - il passaggio è lecito sotto le condizioni di esistenza imposte - e risolviamo l'equazione di secondo grado

x^2-2=0

da cui

x=-\sqrt{2}\ \ \ \vee \ \ \ x=\sqrt{2}

Poiché i due valori rispettano le condizioni di esistenza, possiamo concludere che le soluzioni di

2^{\tfrac{x}{x+1}}\cdot 2^{\tfrac{x}{x+2}}=2

sono

x=-\sqrt{2} \ \ \ \vee \ \ \ x=\sqrt{2}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, BleakHeart
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Os