Esercizio equazione esponenziale con esponenti fratti

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Esercizio equazione esponenziale con esponenti fratti #62638

avt
matdom
Punto
Mi servirebbe il vostro aiuto per risolvere un'equazione esponenziale caratterizzata dalla presenza di esponenti fratti. È la prima volta che mi capita una tipologia simile e non so come approcciarmi.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione esponenziale

2^((x)/(x+1))·2^((x)/(x+2)) = 2

Grazie.
Ringraziano: Omega, Galois
 
 

Esercizio equazione esponenziale con esponenti fratti #62652

avt
Pi Greco
Kraken
Prima di calcolare le soluzioni dell'equazione esponenziale

2^((x)/(x+1))·2^((x)/(x+2)) = 2

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che i denominatori in cui l'incognita compare siano diversi da zero, ossia:

C.E.: x+1 ne 0 ∧ x+2 ne 0

dove ∧ è il connettivo logico che indica la congiunzione "e". I due vincoli devono valere contemporaneamente, per questo motivo considereremo il sistema

x+1 ne 0 → x ne-1 ; x+2 ne 0 → x ne-2

da cui ricaviamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui

C.E.: x ne-1 ∧ x ne-2

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo svolgere i passaggi algebrici: utilizzeremo le proprietà delle potenze per poterci ricondurre a una delle forme normali.

Il primo membro dell'equazione

2^((x)/(x+1))·2^((x)/(x+2)) = 2

non è altro che il prodotto di due potenze con la stessa base e, grazie alla proprietà omonima, possiamo esprimerlo come una potenza avente per base 2 e per esponente la somma degli esponenti:

2^((x)/(x+1)+(x)/(x+2)) = 2

Ci siamo ricondotti all'uguaglianza tra due potenze con la medesima base (2) che sussiste se e solo se coincidono i rispettivi esponenti, ossia

(x)/(x+1)+(x)/(x+2) = 1

Non ci resta che risolvere l'equazione fratta di secondo grado per ottenere le soluzioni di quella iniziale.

Trasportiamo tutti i termini a sinistra

(x)/(x+1)+(x)/(x+2)-1 = 0

calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi ai denominatori

(x(x+2)+x(x+1)-(x+1)(x+2))/((x+1)(x+2)) = 0

e svolgiamo i calcoli

(x^2+2x+x^2+x-(x^2+2x+x+2))/((x+1)(x+2)) = 0 ; (x^2+2x+x^2+x-x^2-3x-2)/((x+1)(x+2)) = 0 ; (x^2-2)/((x+1)(x+2)) = 0

Moltiplichiamo i due membri per il denominatore - il passaggio è lecito sotto le condizioni di esistenza imposte - e risolviamo l'equazione di secondo grado

x^2-2 = 0

da cui

x = -√(2) ∨ x = √(2)

Poiché i due valori rispettano le condizioni di esistenza, possiamo concludere che le soluzioni di

2^((x)/(x+1))·2^((x)/(x+2)) = 2

sono

x = -√(2) ∨ x = √(2)

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, BleakHeart
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Os