Equazione fratta con radice e valore assoluto

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Equazione fratta con radice e valore assoluto #62583

avt
Wall
Cerchio
Mi serve il vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione irrazionale fratta e con valore assoluto. Ho provato a svolgere i calcoli, però diventano via via più complicati.

Calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione irrazionale fratta

(1)/(√(2x+3))-(1)/(|2x+3|) = (1)/(2x+3)

Grazie
 
 

Equazione fratta con radice e valore assoluto #62792

avt
Iusbe
Templare
Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sull'equazione fratta

(1)/(√(2x+3))-(1)/(|2x+3|) = (1)/(2x+3)

bisogna imporre le opportune condizioni di esistenza. Affinché l'equazione sia ben posta, dobbiamo richiedere che:

- il radicando a denominatore 2x+3 sia positivo (non può essere nullo perché se lo fosse, la prima frazione perderebbe di significato).

- il denominatore |2x+3| sia diverso da zero;

- il denominatore 2x+3 sia non nullo.

Le tre condizioni devono valere contemporaneamente, ecco perché costruiamo il seguente sistema di disequazioni:

2x+3 > 0 → x > -(3)/(2) ; |2x+3| ne 0 → x ne-(3)/(2) ; ; 2x+3 ne 0 → x ne-(3)/(2)

Dal sistema, ricaviamo che l'insieme di esistenza delle soluzioni è definito tramite la relazione

C.E.: x > -(3)/(2)

Dal momento che conosciamo la condizione di esistenza, siamo autorizzati a procedere con i passaggi algebrici che consentono di esprimere l'equazione fratta in forma normale.

Osserviamo che per x > -(3)/(2), l'argomento del valore assoluto |2x+3| è positivo e in accordo con la definizione

|2x+3| = 2x+3

di conseguenza l'equazione diventa

(1)/(√(2x+3))-(1)/(2x+3) = (1)/(2x+3)

A questo punto trasportiamo tutti i termini al primo membro

(1)/(√(2x+3))-(1)/(2x+3)-(1)/(2x+3) = 0

dopodiché esprimiamo le frazioni a denominatore comune

(2x+3-√(2x+3)-√(2x+3))/((2x+3)√(2x+3)) = 0 ; (2x+3-2√(2x+3))/((2x+3)√(2x+3)) = 0

Moltiplichiamo i due membri dell'equazione per il denominatore, in questo modo ci riconduciamo alla seguente equazione irrazionale

2x+3-2√(2x+3) = 0

Per ottenere le sue soluzioni, isoliamo la radice quadrata a sinistra dell'uguale

√(2x+3) = (2x+3)/(2)

e osserviamo che per x > -(3)/(2), la radice quadrata è ben definita, inoltre il secondo membro è positivo: ciò significa che se x è maggiore di -(3)/(2) è soddisfatta sia la condizione di esistenza, sia la condizione di concordanza.

Eleviamo al quadrato a destra e a sinistra

(√(2x+3))^2 = ((2x+3)/(2))^2

e sfruttiamo le proprietà delle potenze per semplificare le espressioni

2x+3 = ((2x+3)^2)/(4)

A questo punto trasportiamo i termini al primo membro, sviluppiamo il quadrato di binomio e infine esprimiamo le frazioni a denominatore comune

2x+3-((2x+3)^2)/(4) = 0 ; (8x+12-(4x^2+12x+9))/(4) = 0 ; (8x+12-4x^2-12x-9)/(4) = 0

Una volta sommati i termini simili e moltiplicati per 4 i due membri, ricaviamo l'equazione di secondo grado

-4x^2-4x+3 = 0 → 4x^2+4x-3 = 0

Calcoliamone le soluzioni avvalendoci della formula del delta quarti

(Δ)/(4) = ((b)/(2))^2-ac = 2^2-4·(-3) = 4+12 = 16

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono:

x_(1,2) = (-(b)/(2)±√((Δ)/(4)))/(a) = (-2±4)/(4) = -(6)/(4) = -(3)/(2) = x_1 ; (2)/(4) = (1)/(2) = x_2

I valori ottenuti si candidano come soluzioni dell'equazione fratta iniziale, però solo x_2 = (1)/(2) soddisfa la condizione (x > -(3)/(2)), l'altra è invece da scartare.

In conclusione, l'equazione irrazionale fratta con valore assoluto

(1)/(√(2x+3))-(1)/(|2x+3|) = (1)/(2x+3)

ammette come unica soluzione x = (1)/(2).

Abbiamo finito.
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Os