Esercizio fattorizzazione polinomi con raccoglimento totale

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Esercizio fattorizzazione polinomi con raccoglimento totale #6254

avt
lolloviola
Sfera
Mi servirebbe il vostro aiuto per scomporre alcuni polinomi con la tecnica del raccoglimento totale. Questo argomento è nuovo per me e non ho capito come risolvere gli esercizi, sebbene abbia seguito attentamente in classe. Potreste mostrarmi come devo procedere, per favore?

Usare la tecnica del raccoglimento totale per fattorizzare i seguenti polinomi:

(a) \ \ \ 4a^5+12 a^3 \\ \\ (b)\ \ \ 4mn^2-6m^2n\\ \\ (c) \ \ \ 8axy-6a^2x

Grazie.
 
 

Esercizio fattorizzazione polinomi con raccoglimento totale #6259

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di scomporre 3 polinomi suggerendoci anche la tecnica di fattorizzazione da usare: il metodo del raccoglimento totale.

Se i termini di un polinomio sono divisibili per uno stesso fattore, il polinomio si può esprimere come prodotto del fattore per un nuovo polinomio formato dai quozienti delle divisioni tra i termini del polinomio dato e il fattore messo in evidenza.

In effetti la regola è un po' contorta, però nella pratica è sufficiente affidarsi alle proprietà delle potenze, e in particolare alla regola sul quoziente di due potenze con la stessa base.

Dopo il brevissimo preambolo teorico, possiamo occuparci dell'esercizio: dobbiamo scomporre i polinomi

(a) \ \ \ 4a^5+12 a^3 \\ \\  (b)\ \ \ 4mn^2-6m^2n\\ \\ (c) \ \ \ 8axy-6a^2x

cominciando dal primo.

(a) Consideriamo il binomio 4a^5+12a^3, i cui termini sono 4a^5\ \mbox{e} \ 12a^3. Il fattore comune ai due termini ha:

- per coefficiente il massimo comun divisore dei coefficienti 4 \ \mbox{e} \ 12 che è 4.

- per parte letterale, il prodotto delle lettere comuni, ciascuna presa con il più piccolo esponente: in questa occasione, la lettera comune è a e l'esponente da attribuirle è 3.

In definitiva, il fattore comune è 4a^3 e in virtù della regola per il raccoglimento totale, scriviamo:

\\ 4a^5+12a^3=4a^3[4a^5:(4a^3)+12a^3:(4a^3)]=\\ \\ =4a^3(a^{5-3}+3a^{3-3})= \\ \\ =4a^3(a^2+3)

Il primo è andato.

(b) Esaminiamo il polinomio 4mn^2-6m^2n. Il fattore comune ai suoi termini è il monomio avente per coefficiente il massimo comune divisore di 4\ \mbox{e}\ -6 e per parte letterale il prodotto delle lettere comuni ai termini, ciascuna presa con l'esponente minore, vale a dire 2mn.

In base alla regola, il polinomio si fattorizza svolgendo i seguenti passaggi

4mn^2-6m^2n=2mn[4mn^2:(2mn)-6m^2n:(2mn)]=

Grazie alle proprietà delle potenze, e in particolare grazie alla regola sul quoziente di due potenze con la stessa base, l'espressione diventa:

\\ =2mn[2m^{1-1}n^{2-1}-3m^{2-1}n^{1-1}]= \\ \\ =2mn[2n-3m]

(c) Analizziamo il polinomio 8axy-6a^2x e determiniamo il fattore comune ai termini 8axy\ \mbox{e} \ -6a^2x.

Il coefficiente del fattore comune è dato dal massimo comune divisore tra i coefficienti 8\ \mbox{e} \ 6 ed è chiaramente 2. La parte letterale del fattore comune è invece uguale al prodotto delle lettere comuni ai termini, ciascuna presa con il più piccolo esponente.

In definitiva, il fattore comune ai termini del polinomio è 2ax e in virtù della regola per il raccoglimento totale, scriviamo:

8axy-6a^2x=2ax[(8axy):(2ax)-6a^2x:(2ax)]=

Svolgiamo le divisioni tra i monomi, attenendoci alla regola del quoziente di due potenze nel momento in cui operiamo con le parti letterali.

\\ =2a^2x[4a^{1-1}x^{1-1}y-3a^{2-1}x^{1-1}]= \\ \\ =2a^2x[4y-3a]

Ecco fatto!

Prima di mettere un punto definitivo all'esercizio, è opportuno evidenziare che molti dei passaggi effettuati possono essere saltati una volta acquisito il metodo.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, frank094
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Os