Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema

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#62198

FAQ

Frattale

Dovrei risolvere un'equazione lineare in seno e coseno sfruttando il metodo del passaggio al sistema. Il mio problema riguarda più che altro i calcoli, complicati dalla presenza di coefficienti irrazionali, per questo chiedo il vostro aiuto.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno

sfruttando il metodo del passaggio al sistema.

Ringraziano: Pi Greco

#62199

Ifrit

Amministratore

L'esercizio richiede di risolvere l'equazione lineare in seno e coseno

usando il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di costruire un sistema di due equazioni, la prima delle quali coincide con l'equazione data, la seconda è invece la relazione fondamentale della goniometria, ossia

Il sistema è quindi

sin(x)+√(3)cos(x) = 0 ; cos^2(x)+sin^2(x) = 1

Per calcolarne le soluzioni, operiamo le seguenti sostituzioni

mediante le quali il sistema diventa

Y+√(3)X = 0 ; X^2+Y^2 = 1

Utilizziamo la prima equazione per esprimere in termini di

Y = −√(3)X ; X^2+Y^2 = 1

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda

Y = −√(3)X ; X^2+(−√(3) X)^2 = 1

Una volta svolti i calcoli e sommati tra loro i monomi simili ricaviamo

Y = −√(3)X ; 4X^2 = 1

La seconda è un'equazione pura che conduce alle soluzioni

mediante le quali il sistema diventa

Y = −√(3)X ; X = −(1)/(2) ∨ X = (1)/(2)

Sostituiamo ciascun valore di per ottenere il valore di associato

Y = (√(3))/(2) ; X = −(1)/(2) , Y = −(√(3))/(2) ; X = (1)/(2)

Il sistema ammette quindi due coppie di soluzioni

(X,Y) = (−(1)/(2),(√(3))/(2)) , (X,Y) = ((1)/(2),−(√(3))/(2))

che nel piano cartesiano rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

e la circonferenza goniometrica, di equazione

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 12

Adesso è giunto il momento di ripristinare seno e coseno, tenendo conto delle sostituzioni fatte:

Al sistema

Y = (√(3))/(2) ; X = −(1)/(2)

associamo il sistema goniometrico

sin(x) = (√(3))/(2) → x = (π)/(3)+2kπ ∨ x = (2π)/(3)+2kπ ; cos(x) = −(1)/(2) → x = (2π)/(3)+2kπ ∨ x = (4π)/(3)+2kπ

da cui ricaviamo la prima famiglia di soluzioni

dove è un numero intero.

Y = −(√(3))/(2) ; X = (1)/(2)

associamo il sistema goniometrico

sin(x) = −(√(3))/(2) → x = (4π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ ; cos(x) = (1)/(2) → x = (π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ

da cui otteniamo la seconda famiglia di soluzioni

al variare di .

Possiamo pertanto concludere che l'equazione

è soddisfatta da

al variare di nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: dalla rappresentazione grafica del sistema deduciamo che due soluzioni qualsiasi differiscono di un multiplo intero di , pertanto possiamo scrivere le soluzioni nella forma equivalente:

Abbiamo terminato.

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