Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema

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Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema #62198

avt
FAQ
Frattale
Dovrei risolvere un'equazione lineare in seno e coseno sfruttando il metodo del passaggio al sistema. Il mio problema riguarda più che altro i calcoli, complicati dalla presenza di coefficienti irrazionali, per questo chiedo il vostro aiuto.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno

\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)=0

sfruttando il metodo del passaggio al sistema.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema #62199

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio richiede di risolvere l'equazione lineare in seno e coseno

\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)=0

usando il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di costruire un sistema di due equazioni, la prima delle quali coincide con l'equazione data, la seconda è invece la relazione fondamentale della goniometria, ossia

\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Il sistema è quindi

\begin{cases}\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)=0\\ \\ \cos^2(x)+\sin^2(x)=1\end{cases}

Per calcolarne le soluzioni, operiamo le seguenti sostituzioni

X=\cos(x) \ \ \ , \ \ \ Y=\sin(x)

mediante le quali il sistema diventa

\begin{cases}Y+\sqrt{3}X=0 \\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

Utilizziamo la prima equazione per esprimere Y in termini di X

\begin{cases}Y=-\sqrt{3}X\\ \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda

\begin{cases}Y=-\sqrt{3}X\\ \\ X^2+(-\sqrt{3} X)^2=1\end{cases}

Una volta svolti i calcoli e sommati tra loro i monomi simili ricaviamo

\begin{cases}Y=-\sqrt{3}X\\ \\ 4X^2=1\end{cases}

La seconda è un'equazione pura che conduce alle soluzioni

4X^2=1 \ \ \ \to \ \ \ X=-\frac{1}{2} \ \ \vee \ \  X=\frac{1}{2}

mediante le quali il sistema diventa

\begin{cases}Y=-\sqrt{3}X\\ \\ X=-\dfrac{1}{2}\ \ \vee \ \ X=\dfrac{1}{2}\end{cases}

Sostituiamo ciascun valore di X per ottenere il valore di Y associato

\begin{cases}Y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ X=-\dfrac{1}{2}\end{cases} \ \ \ , \ \ \ \begin{cases}Y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ X=\dfrac{1}{2}\end{cases}

Il sistema ammette quindi due coppie di soluzioni

(X,Y)=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \ \ \ , \ \ \  (X,Y)=\left(\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

che nel piano cartesiano OXY rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

X+\sqrt{3}Y=0

e la circonferenza goniometrica, di equazione

X^2+Y^2=1

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 12

Adesso è giunto il momento di ripristinare seno e coseno, tenendo conto delle sostituzioni fatte:

Al sistema

\begin{cases}Y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ X=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

associamo il sistema goniometrico

\begin{cases}\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \  x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\\ \\ \cos(x)=-\dfrac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\end{cases}

da cui ricaviamo la prima famiglia di soluzioni

x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi

dove k è un numero intero.

A

\begin{cases}Y=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ X=\dfrac{1}{2}\end{cases}

associamo il sistema goniometrico

\begin{cases}\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi \\ \\ \cos(x)=\dfrac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\dfrac{5\pi}{3}+2k\pi \end{cases}

da cui otteniamo la seconda famiglia di soluzioni

x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi

al variare di k\in\mathbb{Z}.

Possiamo pertanto concludere che l'equazione

\sin(x)+\sqrt{3}\cos(x)=0

è soddisfatta da

x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \vee \ \ \ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: dalla rappresentazione grafica del sistema deduciamo che due soluzioni qualsiasi differiscono di un multiplo intero di \pi, pertanto possiamo scrivere le soluzioni nella forma equivalente:

x=\frac{2\pi}{3}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Abbiamo terminato.
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