Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema

Dovrei risolvere un'equazione lineare in seno e coseno sfruttando il metodo del passaggio al sistema. Il mio problema riguarda più che altro i calcoli, complicati dalla presenza di coefficienti irrazionali, per questo chiedo il vostro aiuto.
Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno
sfruttando il metodo del passaggio al sistema.

L'esercizio richiede di risolvere l'equazione lineare in seno e coseno
usando il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di costruire un sistema di due equazioni, la prima delle quali coincide con l'equazione data, la seconda è invece la relazione fondamentale della goniometria, ossia
Il sistema è quindi
Per calcolarne le soluzioni, operiamo le seguenti sostituzioni
mediante le quali il sistema diventa
Utilizziamo la prima equazione per esprimere in termini di
dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda
Una volta svolti i calcoli e sommati tra loro i monomi simili ricaviamo
La seconda è un'equazione pura che conduce alle soluzioni
mediante le quali il sistema diventa
Sostituiamo ciascun valore di per ottenere il valore di
associato
Il sistema ammette quindi due coppie di soluzioni
che nel piano cartesiano rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione
e la circonferenza goniometrica, di equazione

Adesso è giunto il momento di ripristinare seno e coseno, tenendo conto delle sostituzioni fatte:
Al sistema
associamo il sistema goniometrico
da cui ricaviamo la prima famiglia di soluzioni
dove è un numero intero.
A
associamo il sistema goniometrico
da cui otteniamo la seconda famiglia di soluzioni
al variare di .
Possiamo pertanto concludere che l'equazione
è soddisfatta da
al variare di nell'insieme dei numeri interi.
Osservazione: dalla rappresentazione grafica del sistema deduciamo che due soluzioni qualsiasi differiscono di un multiplo intero di , pertanto possiamo scrivere le soluzioni nella forma equivalente:
Abbiamo terminato.
|