Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema

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Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema #62198

avt
FAQ
Frattale
Dovrei risolvere un'equazione lineare in seno e coseno sfruttando il metodo del passaggio al sistema. Il mio problema riguarda più che altro i calcoli, complicati dalla presenza di coefficienti irrazionali, per questo chiedo il vostro aiuto.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+√(3)cos(x) = 0

sfruttando il metodo del passaggio al sistema.
Ringraziano: Pi Greco
 
 

Equazione lineare trigonometrica con il metodo del sistema #62199

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio richiede di risolvere l'equazione lineare in seno e coseno

sin(x)+√(3)cos(x) = 0

usando il metodo del passaggio al sistema. Esso prevede di costruire un sistema di due equazioni, la prima delle quali coincide con l'equazione data, la seconda è invece la relazione fondamentale della goniometria, ossia

cos^2(x)+sin^2(x) = 1 per ogni x∈R

Il sistema è quindi

sin(x)+√(3)cos(x) = 0 ; cos^2(x)+sin^2(x) = 1

Per calcolarne le soluzioni, operiamo le seguenti sostituzioni

X = cos(x) , Y = sin(x)

mediante le quali il sistema diventa

Y+√(3)X = 0 ; X^2+Y^2 = 1

Utilizziamo la prima equazione per esprimere Y in termini di X

Y = -√(3)X ; X^2+Y^2 = 1

dopodiché sostituiamo l'espressione ottenuta nella seconda

Y = -√(3)X ; X^2+(-√(3) X)^2 = 1

Una volta svolti i calcoli e sommati tra loro i monomi simili ricaviamo

Y = -√(3)X ; 4X^2 = 1

La seconda è un'equazione pura che conduce alle soluzioni

4X^2 = 1 → X = -(1)/(2) ∨ X = (1)/(2)

mediante le quali il sistema diventa

Y = -√(3)X ; X = -(1)/(2) ∨ X = (1)/(2)

Sostituiamo ciascun valore di X per ottenere il valore di Y associato

Y = (√(3))/(2) ; X = -(1)/(2) , Y = -(√(3))/(2) ; X = (1)/(2)

Il sistema ammette quindi due coppie di soluzioni

(X,Y) = (-(1)/(2),(√(3))/(2)) , (X,Y) = ((1)/(2),-(√(3))/(2))

che nel piano cartesiano OXY rappresentano i punti di intersezione tra la retta di equazione

X+√(3)Y = 0

e la circonferenza goniometrica, di equazione

X^2+Y^2 = 1

Esercizi equazioni lineari in seno e coseno 12

Adesso è giunto il momento di ripristinare seno e coseno, tenendo conto delle sostituzioni fatte:

Al sistema

Y = (√(3))/(2) ; X = -(1)/(2)

associamo il sistema goniometrico

sin(x) = (√(3))/(2) → x = (π)/(3)+2kπ ∨ x = (2π)/(3)+2kπ ; cos(x) = -(1)/(2) → x = (2π)/(3)+2kπ ∨ x = (4π)/(3)+2kπ

da cui ricaviamo la prima famiglia di soluzioni

x = (2π)/(3)+2kπ

dove k è un numero intero.

A

Y = -(√(3))/(2) ; X = (1)/(2)

associamo il sistema goniometrico

sin(x) = -(√(3))/(2) → x = (4π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ ; cos(x) = (1)/(2) → x = (π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ

da cui otteniamo la seconda famiglia di soluzioni

x = (5π)/(3)+2kπ

al variare di k∈Z.

Possiamo pertanto concludere che l'equazione

sin(x)+√(3)cos(x) = 0

è soddisfatta da

x = (2π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: dalla rappresentazione grafica del sistema deduciamo che due soluzioni qualsiasi differiscono di un multiplo intero di π, pertanto possiamo scrivere le soluzioni nella forma equivalente:

x = (2π)/(3)+kπ con k∈Z

Abbiamo terminato.
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