Equazione di II grado scomponibile

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Equazione di II grado scomponibile #62177

avt
Lady90
Punto
Il testo di un esercizio mi vincola a risolvere un'equazione di secondo grado mediante scomposizione. A dirla tutta pensavo di aver capito come affrontare il problema, ma le soluzioni non coincidono con quelle del libro.

Determinare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2+8x-9=0

scomponendo il trinomio al primo membro.

Grazie.
 
 

Equazione di II grado scomponibile #62180

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo

x^2+8x-9=0

Essa è un'equazione di secondo grado completa che può essere risolta sfruttando sia la formula del delta, sia scomponendo il polinomio al primo membro.

Il testo dell'esercizio è però categorico: ci obbliga a scomporre il polinomio di secondo grado

x^2+8x-9

Per rispettare le pretese della traccia possiamo utilizzare la regola del trinomio notevole, oppure la sempreverde regola di Ruffini.

In questa circostanza, scomponiamo il polinomio vedendolo come trinomio notevole perché è la strada più semplice e veloce. Osserviamo preliminarmente che il polinomio è monico - infatti il coefficiente del termine di grado massimo (x^2) è pari a 1 - di conseguenza dobbiamo cercare due numeri interi A\ \mbox{e} \ B la cui somma coincida con il coefficiente di x e il cui prodotto sia uguale al termine noto, vale a dire:

A+B=8 \ \ \ ; \ \ \ A\cdot B=-9

Procedendo per tentativi, scopriamo che i due numeri sono

A=-1 \ \ \ ; \ \ \ B=9

pertanto

x^2+8x-9=(x+(-1))(x+9)=(x-1)(x+9)

e dunque siamo autorizzati a riscrivere l'equazione di secondo grado nella forma equivalente

(x-1)(x+9)=0

Essa può essere risolta mediante la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce la nullità del prodotto al primo membro se e solo se almeno uno dei fattori è pari a zero. Ci riconduciamo pertanto a due equazioni di primo grado

\\ x-1=0 \\ \\ x+9=0

che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

\\ x-1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1 \\ \\ x+9=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-9

Possiamo concludere quindi che l'equazione data ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=-9 \ \ \ ; \ \ \ x_2=1

ed è pertanto determinata. Il suo insieme soluzione si scrive come segue:

S=\{-9, 1\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Lady90
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Os