Equazione di II grado scomponibile

Il testo di un esercizio mi vincola a risolvere un'equazione di secondo grado mediante scomposizione. A dirla tutta pensavo di aver capito come affrontare il problema, ma le soluzioni non coincidono con quelle del libro.

Determinare le soluzioni dell'equazione di secondo grado



scomponendo il trinomio al primo membro.

Grazie.

Consideriamo



Essa è un'equazione di secondo grado completa che può essere risolta sfruttando sia la formula del delta, sia scomponendo il polinomio al primo membro.

Il testo dell'esercizio è però categorico: ci obbliga a scomporre il polinomio di secondo grado



Per rispettare le pretese della traccia possiamo utilizzare la regola del trinomio notevole, oppure la sempreverde regola di Ruffini.

In questa circostanza, scomponiamo il polinomio vedendolo come trinomio notevole perché è la strada più semplice e veloce. Osserviamo preliminarmente che il polinomio è monico - infatti il coefficiente del termine di grado massimo è pari a 1 - di conseguenza dobbiamo cercare due numeri interi la cui somma coincida con il coefficiente di e il cui prodotto sia uguale al termine noto, vale a dire:



Procedendo per tentativi, scopriamo che i due numeri sono



pertanto



e dunque siamo autorizzati a riscrivere l'equazione di secondo grado nella forma equivalente



Essa può essere risolta mediante la legge di annullamento del prodotto la quale garantisce la nullità del prodotto al primo membro se e solo se almeno uno dei fattori è pari a zero. Ci riconduciamo pertanto a due equazioni di primo grado



che risolviamo isolando l'incognita al primo membro



Possiamo concludere quindi che l'equazione data ammette due soluzioni reali e distinte



ed è pertanto determinata. Il suo insieme soluzione si scrive come segue:



Abbiamo finito.