Equazione esponenziale con valori assoluti

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Equazione esponenziale con valori assoluti #61974

avt
ricky_bee
Punto
Mi serve una mano per determinare le soluzioni di un'equazione esponenziale con i valori assoluti. Il mio professore mi ha suggerito di liberarmi del valore assoluto, però non ho capito come.

Risolvere l'equazione esponenziale

3^{|x^2-1|}\cdot 3^{|x|}=3

Grazie.
Ringraziano: Patrizio85
 
 

Equazione esponenziale con valori assoluti #61993

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione esponenziale

3^{|x^2-1|}\cdot 3^{|x|}=3

il nostro compito consiste nel ricavare i valori dell'incognita che realizzano l'uguaglianza. Il problema principale risiede essenzialmente nell'esprimerla in forma normale. Fortunatamente vengono in nostro soccorso le proprietà delle potenze, in particolare la proprietà che consente di esprimere il prodotto di due potenze con la stessa base in una potenza avente per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

3^{|x^2-1|+|x|}=3

Bene, ora ci siamo ricondotti a un'uguaglianza tra due esponenziali con la stessa base che è verificata nel momento in cui l'esponente al primo membro coincide con l'esponente del secondo, vale a dire:

|x^2-1|+|x|=1

Ci siamo ricondotti a un'equazione con due valori assoluti che può essere risolta con il metodo generale: in termini espliciti, faremo in modo di eliminare i valori assoluti, specificando il segno dei loro argomenti.

Studiamo i segni dell'argomento di |x^2-1|: è sufficiente impostare la disequazione di secondo grado

x^2-1\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\le -1 \ \ \vee \ \ \ x\ge 1

Per il segno dell'argomento di |x| basta risolvere la disequazione

x\ge 0

In accordo con la definizione di modulo, si presentano le seguenti casistiche:

- se x\le -1 allora x^2-1 è non negativo, mentre x è minore di zero, pertanto

|x^2-1|=x^2-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |x|=-x

e l'equazione diventa

x^2-1-x=1 \ \ \ \to \ \ \ x^2-x-2=0

le cui soluzioni sono

x_{1,2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2}=\begin{cases}-1=x_1\\ \\ 2=x_2\end{cases}

Dei due valori, solo x=-1 rispetta la condizione x\le -1 e dunque rappresenta una soluzione dell'equazione iniziale, x=2 va invece scartata.

Se -1<x\le 0, sia x^2-1 che x sono negativi, di conseguenza

|x^2-1|=1-x^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |x|=-x

Siamo quindi autorizzati a considerare l'equazione

1-x^2-x=1 \ \ \ \to \ \ \ x^2+x=0

che risolviamo raccogliendo totalmente x al primo membro

x(x+1)=0

e sfruttando la legge di annullamento del prodotto

x=0 \ \ \ \vee \ \ \ x=-1

I due valori si candidano come soluzioni dell'equazione iniziale, ma solo x=0 vince le elezioni giacché rispetta il vincolo -1<x\le 0.

Se 0<x\le 1, l'argomento di |x^2-1| è negativo o nullo, mentre quello di |x| è positivo, conseguentemente

|x^2-1|=1-x^2 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |x|=x

L'equazione diventa quindi

1-x^2+x=1 \ \ \ \to \ \ \ -x^2+x=0

da cui, raccogliendo x e sfruttando nuovamente la legge di annullamento del prodotto

x(-x+1)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=0 \ \ \ \vee \ \ \ x=1

Dei due valori, considereremo soluzione dell'equazione iniziale solo quella che rispetta il vincolo 0<x\le 1, ossia x=1.

Se x>1 allora x^2-1 \ \mbox{e} \ x sono positivi, di conseguenza

|x^2-1|=x^2-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ |x|=x

e l'equazione diventa

x^2-1+x=1 \ \ \ \to \ \ \ x^2+x-2=0

Sfruttiamo ancora una volta la formula del delta per ricavare le soluzioni

x_{3,4}=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot 1\cdot (-2)}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}=\begin{cases}-2=x_{3}\\ \\ 1=x_4\end{cases}

In questa occasione, nessuno dei valori rispetta la condizione x>1, dunque non possono essere accettate come soluzioni dell'equazione iniziale.

Concludendo, le soluzioni dell'equazione esponenziale

3^{|x^2-1|}\cdot 3^{|x|}=3

sono

x=-1 \ \ \ , \ \ \ x=0 \ \ \ , \ \ \ x=1

Abbiamo finito.
Ringraziano: Galois, BleakHeart, Iusbe
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Os