Equazione con termini esponenziali e irrazionali

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Equazione con termini esponenziali e irrazionali #61949

avt
poincare
Punto
Non ho un bellissimo rapporto con le equazioni esponenziali, men che meno se in esse compaiono delle radici e infatti non sono capace di risolvere l'esercizio che sto per proporvi. Ho sfruttato tutte le proprietà che conosco, senza raggiungere il risultato richiesto.

Risolvere la seguente equazione esponenziale

2^{\sqrt{\tfrac{3x^2-x}{5}}}-\frac{1}{2^{\tfrac{2}{7}(1+3x)}}=0

Grazie.
Ringraziano: Omega
 
 

Equazione con termini esponenziali e irrazionali #61958

avt
Omega
Amministratore
L'esercizio ci chiede di determinare le soluzioni dell'equazione esponenziale

2^{\sqrt{\tfrac{3x^2-x}{5}}}-\frac{1}{2^{\tfrac{2}{7}(1+3x)}}=0

caratterizzata dalla presenza della radice con indice pari. Prima di imbastire tutti i calcoli, è necessario imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che il radicando sia positivo o al più nullo e che il denominatore sia diverso da zero.

I vincoli da imporre sono quindi

\frac{3x^2-x}{5}\ge 0\ \ \ \mbox{e} \ \ \ 2^{\tfrac{2}{7}(1+3x)}\ne 0

Osserviamo sin da subito che la relazione

2^{\tfrac{2}{7}(1+3x)}\ne 0

è certamente verificata per ogni x, infatti l'esponenziale è positiva (per definizione).

Per quanto concerne la risoluzione della disequazione di secondo grado

\frac{3x^2-x}{5}\ge 0

moltiplichiamo i due membri per 5

3x^2-x\ge 0

e consideriamo l'equazione di secondo grado associata

3x^2-x=0 \ \ \ \to \ \ \ x(3x-1)=0

Le soluzioni dell'equazione sono

x_1=0\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x_2=\frac{1}{3}

e poiché il coefficiente direttivo è positivo, il verso della disequazione è \ge, essa è soddisfatta per valori esterni, ossia

x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge \frac{1}{3}

In definitiva, l'equazione ha senso se l'incognita soddisfa i vincoli

C.E. :\ x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \  x\ge \frac{1}{3}

Noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo svolgere i passaggi algebrici che consentono di ricondurre l'equazione iniziale in forma normale.

Partendo da

2^{\sqrt{\tfrac{3x^2-x}{5}}}-\frac{1}{2^{\tfrac{2}{7}(1+3x)}}=0

utilizziamo le proprietà delle potenze, o per essere precisi la definizione di potenza con esponente negativo per riscrivere l'equazione nella forma

2^{\sqrt{\tfrac{3x^2-x}{5}}}-2^{-\tfrac{2}{7}(1+3x)}=0

Isoliamo il primo termine a sinistra

2^{\sqrt{\tfrac{3x^2-x}{5}}}=2^{-\tfrac{2}{7}(1+3x)}

in questo modo l'equazione è espressa in forma canonica. Ricordiamo che l'uguaglianza di due esponenziali con la stessa base è verificata se e solo se hanno lo stesso esponente, ossia se:

\sqrt{\frac{3x^2-x}{5}}=-\frac{2}{7}(1+3x)

Non ci resta che risolvere l'equazione irrazionale impostando il sistema risolvente

\begin{cases}\dfrac{3x^2-x}{5}\ge 0 &\mbox{Condizione di esistenza}\\ \\ -\dfrac{2}{7}(1+3x)\ge 0  &\mbox{Condizione di concordanza} \\ \\ \dfrac{3x^2-x}{5}=\left[-\dfrac{2}{7}(1+3x)\right]^2\end{cases}

Analizziamo separatamente le tre relazioni, partendo dalla prima

\frac{3x^2-x}{5}\ge 0

che in realtà abbiamo già studiato nel momento in cui abbiamo determinato l'insieme di esistenza

x\le 0 \ \ \ \vee \ \ \ x\ge \frac{1}{3}

Consideriamo la seconda

-\frac{2}{7}(1+3x)\ge 0

cambiamo i segni e invertiamo il verso

\frac{2}{7}(1+3x)\le 0

dividiamo i due membri per \frac{2}{7}

1+3x\le 0

e infine isoliamo l'incognita al primo membro

x\le -\frac{1}{3}

Ora tocca all'ultima relazione del sistema, vale a dire:

\frac{3x^2-x}{5}=\left[-\frac{2}{7}(1+3x)\right]^2

Sviluppiamo il quadrato al secondo membro

\frac{3x^2-x}{5}=\frac{4}{49}(1+6x+9x^2)

scriviamo le frazioni a denominatore comune

\frac{49(3x^2-x)}{245}=\frac{5\cdot 4(1+6x+9x^2)}{245}

Dopo aver cancellato il denominatore comune, si tratta di portare a termine i calcoli così da ricondurci all'equazione di secondo grado

33x^2+169x+20=0

Indichiamo con a,\  b \ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto:

a=33 \ \ \ , \ \ \ b=169 \ \ \ , \ \ \ c=20

e sfruttiamo la formula del discriminante per ricavare le soluzioni

\\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-169\pm\sqrt{169^2-4\cdot 33\cdot 20}}{66}= \\ \\ \\ =\frac{-169\pm 161}{66}=\begin{cases}\frac{-169-161}{66}=-5=x_1\\ \\ \frac{-169+161}{66}=-\frac{4}{33}=x_2\end{cases}

Da un lato, il valore x_2=-\frac{4}{33} non rispetta la condizione di concordanza x\le -\frac{1}{3}, pertanto non può essere soluzione dell'equazione data, dall'altro x_1=-5 rispetta sia le condizioni di esistenza, sia quelle di concordanza, ecco perché rappresenta l'unica soluzione dell'equazione iniziale.
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