Equazione goniometrica con cos(5x)

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#6183
avt
luciaaa
Cerchio
Il mio professore ha proposto un'equazione goniometrica con il coseno che si può ricondurre a un'equazione elementare con un'opportuna sostituzione. Dopo averla effettuata, i calcoli mi conducono a soluzioni che sono diverse da quelle che vengono proposte e non capisco perché.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica, riconducendola a un'equazione elementare con un'opportuna sostituzione.

cos(5x) = (√(3))/(2)

Grazie.
#6219
avt
Ifrit
Amministratore
Per calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

cos(5x) = (√(3))/(2)

possiamo tranquillamente usare la sostituzione t = 5x, con cui l'equazione si riscrive nella forma:

cos(t) = (√(3))/(2)

Essa è un'equazione goniometrica elementare in coseno soddisfatta dalle famiglie di soluzioni

t = (π)/(6)+2kπ , t = (11π)/(6)+2kπ

dove il termine 2kπ scaturisce a causa della periodicità del coseno. Chiaramente, non abbiamo ancora terminato! Dobbiamo infatti ritornare nell'incognita x, tenendo conto della sostituzione.

Poiché t = 5x, le relazioni

t = (π)/(6)+2kπ , t = (11π)/(6)+2kπ

si tramutano nelle seguenti equazioni di primo grado nell'incognita x

5x = (π)/(6)+2kπ , 5x = (11π)/(6)+2kπ

Dividendo i membri delle equazioni per 5, ricaviamo le famiglie di soluzioni dell'equazione data:

x = (1)/(5)((π)/(6)+2kπ) , x = (1)/(5)((11π)/(6)+2kπ)

da cui

x = (π)/(30)+(2kπ)/(5) , x = (11π)/(30)+(2kπ)/(5)

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: i valori base usati per ricavare le famiglie soluzioni dell'equazione cos(t) = (√(3))/(2) appartengono all'intervallo 0 ≤ t < 2π.

Se scegliessimo di lavorare nell'intervallo -π ≤ t < π, le soluzioni base sarebbero

t = -(π)/(6) e t = (π)/(6)

mediante le quali le soluzioni dell'equazione in t si scrivono come segue:

t = -(π)/(6)+2kπ , t = (π)/(6)+2kπ

per cui, operando la sostituzione t = 5x, otteniamo le equazioni di primo grado

5x = -(π)/(6)+2kπ , 5x = (π)/(6)+2kπ

Dividendo per 5 i membri delle equazioni, scopriamo che le soluzioni dell'equazione in x

cos(5x) = (√(3))/(2)

sono:

x = -(π)/(30)+(2kπ)/(5) , x = (π)/(30)+(2kπ)/(5)

al variare di k∈Z.

Benché le famiglie soluzione

 x = (π)/(30)+(2kπ)/(5) , x = (11π)/(30)+(2kπ)/(5) ; e ; x = -(π)/(30)+(2kπ)/(5) , x = (π)/(30)+(2kπ)/(5)

appaiano differenti, in realtà individuano i medesimi angoli: per convincersi dell'equivalenza delle soluzioni, è possibile avvalersi della circonferenza goniometrica.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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