Per calcolare le soluzioni dell'
equazione goniometrica
possiamo tranquillamente usare la sostituzione

, con cui l'equazione si riscrive nella forma:
Essa è un'equazione goniometrica elementare in
coseno soddisfatta dalle famiglie di soluzioni
dove il termine

scaturisce a causa della
periodicità del coseno. Chiaramente, non abbiamo ancora terminato! Dobbiamo infatti ritornare nell'incognita

, tenendo conto della sostituzione.
Poiché

, le relazioni
si tramutano nelle seguenti
equazioni di primo grado nell'incognita
Dividendo i membri delle equazioni per 5, ricaviamo le famiglie di soluzioni dell'equazione data:
da cui
al variare di

nell'insieme dei
numeri interi.
Osservazione: i valori base usati per ricavare le famiglie soluzioni dell'equazione

appartengono all'
intervallo 
.
Se scegliessimo di lavorare nell'intervallo

, le soluzioni base sarebbero
mediante le quali le soluzioni dell'equazione in

si scrivono come segue:
per cui, operando la sostituzione

, otteniamo le equazioni di primo grado
Dividendo per 5 i membri delle equazioni, scopriamo che le soluzioni dell'equazione in
sono:
al variare di

.
Benché le famiglie soluzione
appaiano differenti, in realtà individuano i medesimi angoli: per convincersi dell'equivalenza delle soluzioni, è possibile avvalersi della
circonferenza goniometrica.
Abbiamo finito.