Equazione goniometrica con cos(5x)

Il mio professore ha proposto un'equazione goniometrica con il coseno che si può ricondurre a un'equazione elementare con un'opportuna sostituzione. Dopo averla effettuata, i calcoli mi conducono a soluzioni che sono diverse da quelle che vengono proposte e non capisco perché.

Calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica, riconducendola a un'equazione elementare con un'opportuna sostituzione.



Grazie.

Per calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica



possiamo tranquillamente usare la sostituzione , con cui l'equazione si riscrive nella forma:



Essa è un'equazione goniometrica elementare in coseno soddisfatta dalle famiglie di soluzioni



dove il termine scaturisce a causa della periodicità del coseno. Chiaramente, non abbiamo ancora terminato! Dobbiamo infatti ritornare nell'incognita , tenendo conto della sostituzione.

Poiché , le relazioni



si tramutano nelle seguenti equazioni di primo grado nell'incognita



Dividendo i membri delle equazioni per 5, ricaviamo le famiglie di soluzioni dell'equazione data:



da cui



al variare di nell'insieme dei numeri interi.

Osservazione: i valori base usati per ricavare le famiglie soluzioni dell'equazione appartengono all'intervallo .

Se scegliessimo di lavorare nell'intervallo , le soluzioni base sarebbero



mediante le quali le soluzioni dell'equazione in si scrivono come segue:



per cui, operando la sostituzione , otteniamo le equazioni di primo grado



Dividendo per 5 i membri delle equazioni, scopriamo che le soluzioni dell'equazione in



sono:



al variare di .

Benché le famiglie soluzione



appaiano differenti, in realtà individuano i medesimi angoli: per convincersi dell'equivalenza delle soluzioni, è possibile avvalersi della circonferenza goniometrica.

Abbiamo finito.