Esercizio equazione goniometrica con sin(3x)

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Esercizio equazione goniometrica con sin(3x) #6171

avt
luciaaa
Cerchio
Mi servirebbe il vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica in seno riconducibile a una elementare mediante un'opportuna sostituzione. Io ci ho provato a risolverla, però i miei risultati non coincidono con quelli del libro.

Usare un'opportuna sostituzione per calcolare le soluzioni della seguente equazione goniometrica:

\sin(3x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Grazie.
 
 

Esercizio equazione goniometrica con sin(3x) #6172

avt
Ifrit
Ambasciatore
La sostituzione che consente di ricavare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin(3x)=\frac{\sqrt{2}}{2}

è t=3x. È grazie a essa che riusciamo a ricondurci all'equazione elementare in seno

\sin(t)=\frac{\sqrt{2}}{2}

Aiutandoci con la circonferenza goniometrica e con la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, scopriamo che l'equazione in t è soddisfatta dalle seguenti famiglie di valori:

t=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

dove k è un parametro che varia nell'insieme dei numeri interi.

Nota: il termine 2k\pi scaturisce dalla periodicità del seno.

Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ripristinare l'incognita x. Poiché t=3x, le relazioni

t=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ t=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

si tramutano nelle equazioni di primo grado

3x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ 3x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

Dividendo i membri delle equazioni per i coefficienti di x, otteniamo le soluzioni dell'equazione goniometrica:

x=\frac{\pi}{12}+\frac{2k\pi}{3} \ \ \ , \ \ \ x=\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{3}

con k\in\mathbb{Z}. Abbiamo finito.
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