Esercizio equazione di secondo grado per scomposizione

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Esercizio equazione di secondo grado per scomposizione #61539

avt
roby21tommy
Banned
Ho qualche perplessità nel risolvere un'equazione di secondo grado scomponendo il trinomio di grado due mediante la regola relativa ai trinomi speciali oppure la regola di Ruffini. Non posso usare la formula del delta.

Determinare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

x^2-2x-3=0

scomponendo il polinomio al primo membro.
 
 

Esercizio equazione di secondo grado per scomposizione #61542

avt
Galois
Amministratore
Proponiamoci di risolvere l'equazione di secondo grado completa

x^2-2x-3=0

senza ricorrere alla formula del discriminante, bensì avvalendosi delle opportune tecniche di scomposizione per i polinomi.

Abbiamo a nostra disposizione:

- la scomposizione mediante trinomio notevole;

- la scomposizione mediante la regola di Ruffini.

Scomponiamo il trinomio

x^2-2x-3

osservando innanzitutto che è un polinomio monico, ossia un polinomio con coefficiente direttivo pari a 1. Sotto questa condizione, ricerchiamo due numeri interi A\ \mbox{e} \ B il cui prodotto coincide con il termine noto e la cui somma è uguale al coefficiente di x, in simboli:

A\cdot B=-3 \ \ \ ; \ \ \ A+B=-2

Dalla negatività del prodotto deduciamo che A\ \mbox{e} \ B sono discordi tra loro. Andando per tentativi, si ricava abbastanza agevolmente che i due numeri sono:

A=-3 \ \ \ ; \ \ \ B=1

infatti

A+B=-2 \ \ \ ; \ \ \ A\cdot B=-3

In accordo con la regola del trinomio notevole, il polinomio x^2-2x-3 si scompone nella seguente maniera

x^2-2x-3=(x+(-3))(x+1)=(x-3)(x+1)

pertanto siamo autorizzati a riscrivere l'equazione

x^2-2x-3=0

nella forma equivalente

(x-3)(x+1)=0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è nullo, vale a dire:

\\ x-3=0 \\ \\ x+1=0

Ci siamo ricondotti a due equazioni di primo grado che risolviamo isolando l'incognita al primo membro

\\ x-3=0 \ \ \ \to \ \ \ x=3 \\ \\ x+1=0 \ \ \ \to \ \ \ x=-1

In conclusione, l'equazione data ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=-1 \ \ \ ; \ \ \ x_2=3

pertanto è determinata e il suo insieme soluzione è S=\left\{-1,\ 3\right\}.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os