Equazione con doppio esponenziale

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Equazione con doppio esponenziale #61242

avt
vinx91ct
Banned
Dovrei risolvere un'equazione esponenziale in cui compaiono esponenziali di esponenziali in base e. Il mio professore ha suggerito di procedere per sostituzione, però i calcoli diventano via via sempre più complicati.

Calcolare le soluzioni dell'equazione esponenziale

e^{2e^{x}}-e^{e^{x}+1}-2e^{2}=0

Come si risolve?
 
 

Equazione con doppio esponenziale #61303

avt
Omega
Amministratore
Per ricavare le soluzioni dell'equazione esponenziale

e^{2e^{x}}-e^{e^{x}+1}-2e^{2}=0

bisogna avvalersi delle giuste proprietà delle potenze. L'obiettivo consiste nel semplificare il più possibile il primo membro e ricondurci a qualcosa di notevole con una sostituzione ad hoc.

La regola relativa alla potenza di una potenza garantisce la seguente identità

e^{2e^{x}}=[e^{e^{x}}]^2 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

inoltre la proprietà sul prodotto di due potenze con la stessa base (letta al contrario) consente di scrivere la relazione

e^{e^{x}+1}=e\cdot e^{e^{x}} \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Con le informazioni ottenute, l'equazione diventa

[e^{e^{x}}]^2-e\cdot e^{e^{x}}-2e^{2}=0

e può essere risolta operando la sostituzione

t=e^{e^{x}} \ \ \ \to \ \ \ t^2=[e^{e^{x}}]^2

grazie alla quale, l'equazione si traduce in

t^2-e\cdot t-2e^{2}=0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado nell'incognita t e con coefficienti

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-e \ \ \ ,\ \ \ \ c=-2e^2

Calcoliamo il discriminante associato con la formula

\Delta=b^2-4ac= (-e)^2-4\cdot 1\cdot (-2e^{2})=e^2+8e^{2}=9e^{2}

e le soluzioni in t con la relazione

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{e\pm\sqrt{9e^{2}}}{2}=\\ \\ \\ = \frac{e\pm 3e}{2}=\begin{cases}-e=t_1 \\ \\ 2e=t_2\end{cases}

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono quindi

t=-e \ \ \ , \ \ \ t=2e

Naturalmente dobbiamo ritornare nell'incognita x tenendo conto della sostituzione t=e^{e^x} con cui t=-e si tramuta nell'equazione esponenziale

e^{e^x}=-e

che non ammette soluzioni perché vi è discordanza tra i membri: il primo è positivo, il secondo è negativo.

La relazione t=2e si traduce nell'equazione

e^{e^x}=2e

che possiamo risolvere applicando il logaritmo naturale a destra e a sinistra dell'uguale

\\ \ln(e^{e^{x}})=\ln(2e) \ \ \ \to \ \ \ e^{x}=\ln(2e)

Sfruttiamo le proprietà dei logaritmi, in particolare quella regola che consente di esprimere il logaritmo del prodotto come somma di logaritmi

e^{x}=\ln(2)+\ln(e) \ \ \ \to \ \ \ e^{x}=\ln(2)+1

Notato che \ln(2)+1 è un numero positivo, possiamo calcolare x applicando a destra e a sinistra il logaritmo naturale

x=\ln(\ln(2)+1)

Ora possiamo mettere un punto all'esercizio.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, vinx91ct, Galois, Phi-ϕ-57
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Os