Per ricavare le soluzioni dell'
equazione esponenziale
bisogna avvalersi delle giuste
proprietà delle potenze. L'obiettivo consiste nel semplificare il più possibile il primo membro e ricondurci a qualcosa di notevole con una sostituzione ad hoc.
La regola relativa alla
potenza di una potenza garantisce la seguente identità
inoltre la proprietà sul
prodotto di due potenze con la stessa base (letta al contrario) consente di scrivere la relazione
Con le informazioni ottenute, l'equazione diventa
e può essere risolta operando la sostituzione
grazie alla quale, l'equazione si traduce in
Essa è chiaramente un'
equazione di secondo grado nell'incognita

e con coefficienti
Calcoliamo il
discriminante associato con la formula
e le soluzioni in

con la relazione
Le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono quindi
Naturalmente dobbiamo ritornare nell'incognita

tenendo conto della sostituzione

con cui

si tramuta nell'equazione esponenziale
che non ammette soluzioni perché vi è discordanza tra i membri: il primo è positivo, il secondo è negativo.
La relazione

si traduce nell'equazione
che possiamo risolvere applicando il
logaritmo naturale a destra e a sinistra dell'uguale
Sfruttiamo le
proprietà dei logaritmi, in particolare quella regola che consente di esprimere il logaritmo del prodotto come somma di logaritmi
Notato che

è un numero positivo, possiamo calcolare

applicando a destra e a sinistra il logaritmo naturale
Ora possiamo mettere un punto all'esercizio.