Equazione di secondo grado spuria con coefficienti irrazionali

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Equazione di secondo grado spuria con coefficienti irrazionali #61166

avt
gost93
Punto
A scuola abbiamo iniziato da poco le equazioni di secondo grado, e più precisamente ci stiamo occupando delle equazioni spurie a coefficienti irrazionali. Il mio problema è che non capisco come sfruttare le proprietà dei radicali per ottenere il risultato. Spero possiate aiutarmi.

Determinare l'insieme soluzione associato all'equazione di secondo grado

\sqrt{2}x+\sqrt{8}x=\frac{x^2}{\sqrt{3}}

Grazie.
 
 

Equazione di secondo grado spuria con coefficienti irrazionali #61169

avt
Galois
Coamministratore
Il nostro compito consiste nel risolvere l'equazione di secondo grado

\sqrt{2}x+\sqrt{8}x=\frac{x^2}{\sqrt{3}}

Sebbene siano presenti dei radicali, la strategia risolutiva generale rimane la medesima.

Per prima cosa trasportiamo tutto al primo membro, prestando attenzione al fatto che dobbiamo cambiare il segno al monomio che attraversa il simbolo di uguaglianza

\sqrt{2}x+\sqrt{8}x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}=0

dopodiché semplifichiamo i radicali presenti. In maniera più dettagliata, semplificheremo il radicale \sqrt{8} vedendo 8 come il cubo di 2, e in seguito trasporteremo fuori dalla radice

\\ \sqrt{2}x+\sqrt{2^3}x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}=0 \\ \\ \\ \sqrt{2}x+2\sqrt{2}x-\frac{x^2}{\sqrt{3}}=0

Non fermiamoci qui, razionalizziamo il denominatore di \frac{x^2}{\sqrt{3}} moltiplicando e dividendo per \sqrt{3}

\\ \sqrt{2}x+2\sqrt{2}x-\frac{x^2\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=0 \\ \\ \\ \sqrt{2}x+2\sqrt{2}x-\frac{\sqrt{3}x^2}{3}=0

Calcoliamo a questo punto il minimo comune multiplo e scriviamo l'equazione a denominatore comune

\frac{3\sqrt{2}x+6\sqrt{2}x-\sqrt{3}x^2}{3}=0

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni consente di eliminare il denominatore e di scrivere l'equazione equivalente

3\sqrt{2}x+6\sqrt{2}x-\sqrt{3}x^2=0

Sommiamo i monomi simili

(3\sqrt{2}+6\sqrt{2})x-\sqrt{3}x^2=0

ed eseguiamo l'addizione tra i radicali simili

9\sqrt{2}x-\sqrt{3}x^2=0

I passaggi algebrici hanno permesso di ricondurci a un'equazione spuria che possiamo risolvere raccogliendo a fattore comune x

x(9\sqrt{2}-\sqrt{3}x)=0

e sfruttando a dovere la legge di annullamento del prodotto. Essa garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se almeno uno dei fattori è nullo, vale a dire

\\ x=0 \\ \\ 9\sqrt{2}-\sqrt{3}x=0

Otteniamo quindi due equazioni di primo grado, la prima delle quali fornisce la soluzione nulla. Per quanto concerne la seconda, isoliamo l'incognita al primo membro

-\sqrt{3}x=-9\sqrt{2} \ \ \ \to \ \ \ \sqrt{3}x=9\sqrt{2}

dopodiché dividiamo i due membri per \sqrt{3} ottenendo

x=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

Essa rappresenta una soluzione dell'equazione di secondo grado, ma non è semplificata a dovere. Razionalizziamo il denominatore del secondo membro moltiplicando e dividendo per \sqrt{3}

x=\frac{9\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{9\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{3}

Riduciamo la frazione ai minimi termini semplificando tra loro 3 e 9

x=3\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}

e moltiplichiamo i radicali tra loro

x=3\sqrt{6}

In definitiva, concludiamo che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=0 \ \ \ ; \ \ \ x_2=3\sqrt{6}

pertanto è determinata e ammette come insieme soluzione

S=\left\{0,\ 3\sqrt{6}\right\}

Abbiamo finito.
Ringraziano: CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os