Equazione con esponenti trigonometrici #61030

avt
ViMar
Punto
Ho per le mani un esercizio sulle equazioni esponenziali che non sono in grado di risolvere. Nell'equazione in questione compaiono esponenziali con basi variabili e con seni e coseni agli esponenti, insomma non è esattamente una delle più semplici, ecco perché richiedo il vostro intervento.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione esponenziale

x^{\sqrt{3}\sin^2(x)}=x^{\sin(x)\cos(x)}

Grazie.
 
 

Equazione con esponenti trigonometrici #61090

avt
Galois
Amministratore
L'equazione esponenziale

x^{\sqrt{3}\sin^2(x)}=x^{\sin(x)\cos(x)}

è alquanto peculiare perché i termini esponenziali hanno base variabile: prima di determinare le soluzioni bisogna imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che le basi siano positive, ossia pretenderemo che sussista il vincolo:

C.E. : \ x>0

Occupiamoci dell'equazione: per poterla semplificare, applichiamo il logaritmo naturale ambo i membri (in realtà la base è del tutto arbitraria, a nostra scelta, purché non dipenda dall'incognita)

\ln(x^{\sqrt{3}\sin^2(x)})=\ln(x^{\sin(x)\cos(x)})

In virtù della proprietà sul logaritmo di una potenza, possiamo trasportare gli esponenti davanti ai rispettivi logaritmi

\sqrt{3}\sin^2(x)\ln(x)=\sin(x)\cos(x)\ln(x)

Una volta portati tutti i termini al primo membro

\sqrt{3}\sin^2(x)\ln(x)-\sin(x)\cos(x)\ln(x)=0

e raccolto il fattore comune \ln(x), ricaviamo l'equazione

(\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x))\ln(x)=0

Per poterne ricavare le soluzioni, utilizziamo la legge di annullamento del prodotto che garantisce che il prodotto al primo membro è zero se e solo se sussiste almeno una delle seguenti equazioni

\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x)=0 \ \ \ ,  \ \ \ \ln(x)=0

Occupiamoci dell'equazione logaritmica, risolta per x=1, infatti

\ln(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=1

ed è una soluzione dell'equazione data perché rispetta la condizione di esistenza.

Dedichiamoci all'equazione goniometrica

\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(x)\cos(x)=0

Per risolverla, raccogliamo il fattore comune \sin(x)

\sin(x)[\sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)]=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, mediante la quale ricaviamo le equazioni

\sin(x)=0 \ \ \ , \ \ \ \sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)=0

che risolviamo singolarmente partendo dalla prima:

\sin(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ x=k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Osservazione: affinché i valori

x=k\pi

siano soluzioni dell'equazione iniziale, devono necessariamente soddisfare la condizione di esistenza ossia

x>0 \ \ \ \to \ \ \ k\pi>0 \ \ \ \to \ \ \ k>0

Deduciamo quindi che solo

x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z} \ \ \mbox{e} \ \  k>0

sono soluzioni dell'equazione iniziale, quelli per k\le 0 sono esclusi.

Occupiamoci di

\sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)=0

Essa è un'equazione goniometrica lineare in seno e coseno. Per ricavare le sue soluzioni, isoliamo il seno al primo membro

\sin(x)=\frac{\cos(x)}{\sqrt{3}}

e osserviamo che se \cos(x)=0, in virtù della relazione fondamentale della goniometria \sin(x)=-1 oppure \sin(x)=1. Ciò ci permette di asserire che i valori che annullano il coseno non possono essere soluzioni dell'equazione, infatti ricadremmo in una delle seguenti uguaglianze (false)

1=0\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ -1=0

Per \cos(x)\ne 0, dividiamo i due membri per coseno

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{1}{\sqrt{3}}

e, sfruttata la definizione di tangente, otteniamo:

\tan(x)=\frac{1}{\sqrt{3}} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Non abbiamo ancora finito: dobbiamo accertarci che i valori soddisfino la condizione di esistenza x>0, ecco perché imponiamo la seguente disequazione nell'incognita intera k

x>0 \ \ \ \to \ \ \ \frac{\pi}{6}+k\pi>0 \ \ \ \to \ \ \ k>-\frac{1}{6}

Proprio perché k è un numero intero, la condizione k>-\frac{1}{6} si riscrive come k\ge 0 - 0 è infatti il primo numero intero maggiore di -\frac{1}{6}.

Scriviamo le conclusioni: le soluzioni associate all'equazione

x^{\sqrt{3}\sin^2(x)}=x^{\sin(x)\cos(x)}

sono

x=1 \\ \\ x=k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k>0\\ \\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\ge 0

Abbiamo terminato.
Ringraziano: Pi Greco, ViMar
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