Equazione apparentemente non di secondo grado

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Equazione apparentemente non di secondo grado #60696

avt
CarFaby
Templare
Avrei bisogno del vostro aiuto per determinare l'insieme delle soluzioni di un'equazione di secondo grado a coefficienti fratti in cui compaiono alcuni prodotti notevoli tra cui un cubo di binomio. Ho provato a svolgere tutti i calcoli, ma puntualmente sbaglio qualcosa.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni dell'equazione di secondo grado

(1)/(4)(x+2)^3-((x)/(2)-1)((x)/(2)+1)x-(2)/(3) = 0

Grazie.
Ringraziano: Omega, BleakHeart
 
 

Equazione apparentemente non di secondo grado #61014

avt
Galois
Amministratore
Per calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado

(1)/(4)(x+2)^3-((x)/(2)-1)((x)/(2)+1)x-(2)/(3) = 0

bisogna innanzitutto eseguire tutti i calcoli che servono per ricondurci alla forma canonica. Cominciamo dallo sviluppo del cubo di binomio

(x^3+6x^2+12x+8)/(4)-((x)/(2)-1)((x)/(2)+1)x-(2)/(3) = 0

dopodiché possiamo occuparci del prodotto tra la somma e la differenza dei monomi (1)/(2)x e 1 riscrivendolo come differenza dei quadrati

(x^3+6x^2+12x+8)/(4)-((x^2)/(4)-1)x-(2)/(3) = 0

Continuiamo con i calcoli

(x^3+6x^2+12x+8)/(4)-((x^3)/(4)-x)-(2)/(3) = 0

e sfruttiamo la regola dei segni per sbarazzarci delle parentesi tonde

(x^3+6x^2+12x+8)/(4)-(x^3)/(4)+x-(2)/(3) = 0

A questo punto calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo l'equazione a denominatore comune

(3(x^3+6x^2+12x+8)-3x^3+12x-8)/(12) = 0

da cui

(3x^3+18x^2+36x+24-3x^3+12x-8)/(12) = 0

Grazie ai principi di equivalenza per le equazioni possiamo eliminare il denominatore e ottenere l'equazione equivalente

3x^3+18x^2+36x+24-3x^3+12x-8 = 0

Cancelliamo i monomi opposti e sommiamo tra loro quelli simili, dopodiché ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

18x^2+48x+16 = 0

Notiamo che possiamo raccogliere 2 a fattore comune e in seguito semplificarlo

9x^2+24x+8 = 0

Ci siamo ricondotti alla forma normale, l'equazione infatti è del tipo

ax^2+bx+c = 0

dove a,b e c assumono i seguenti valori:

a = 9 ; b = 24 ; c = 8

Utilizziamo la formula del discriminante

Δ = b^2-4ac = 24^2-4·9·8 = 288

e calcoliamone la radice quadrata a parte: in questo modo sarà più facile utilizzare le proprietà dei radicali per semplificare il più possibile il risultato finale.

√(Δ) = √(288) =

Scomponiamo in fattori primi 288

= √(2^5·3^2) =

dopodiché trasportiamo fuori dalla radice tutti i possibili fattori

= 2^2·3√(2) = 12√(2)

Ora che disponiamo della radice del delta semplificata all'osso, siamo in grado di esplicitare le due soluzioni reali e distinte dell'equazione

x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-24±12√(2))/(2·9) =

Al numeratore raccogliamo 12 e semplifichiamolo in seguito con i fattori a denominatore

= (12(-2±√(2)))/(2·9) = (2(-2±√(2)))/(3) =

da cui

= (-4±2√(2))/(3) = (-4-2√(2))/(3) = x_1 ; (-4+2√(2))/(3) = x_2

In definitiva, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è

S = (-4-2√(2))/(3), (-4+2√(2))/(3)

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby
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Os