Equazione apparentemente non di secondo grado

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Equazione apparentemente non di secondo grado #60696

avt
CarFaby
Templare
Avrei bisogno del vostro aiuto per determinare l'insieme delle soluzioni di un'equazione di secondo grado a coefficienti fratti in cui compaiono alcuni prodotti notevoli tra cui un cubo di binomio. Ho provato a svolgere tutti i calcoli, ma puntualmente sbaglio qualcosa.

Esplicitare l'insieme delle soluzioni dell'equazione di secondo grado

\frac{1}{4}(x+2)^3-\left(\frac{x}{2}-1\right)\left(\frac{x}{2}+1\right)x-\frac{2}{3}=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, BleakHeart
 
 

Equazione apparentemente non di secondo grado #61014

avt
Galois
Amministratore
Per calcolare le eventuali soluzioni dell'equazione di secondo grado

\frac{1}{4}(x+2)^3-\left(\frac{x}{2}-1\right)\left(\frac{x}{2}+1\right)x-\frac{2}{3}=0

bisogna innanzitutto eseguire tutti i calcoli che servono per ricondurci alla forma canonica. Cominciamo dallo sviluppo del cubo di binomio

\frac{x^3+6x^2+12x+8}{4}-\left(\frac{x}{2}-1\right)\left(\frac{x}{2}+1\right)x-\frac{2}{3}=0

dopodiché possiamo occuparci del prodotto tra la somma e la differenza dei monomi \frac{1}{2}x\ \mbox{e} \ 1 riscrivendolo come differenza dei quadrati

\frac{x^3+6x^2+12x+8}{4}-\left(\frac{x^2}{4}-1\right)x-\frac{2}{3}=0

Continuiamo con i calcoli

\frac{x^3+6x^2+12x+8}{4}-\left(\frac{x^3}{4}-x\right)-\frac{2}{3}=0

e sfruttiamo la regola dei segni per sbarazzarci delle parentesi tonde

\frac{x^3+6x^2+12x+8}{4}-\frac{x^3}{4}+x-\frac{2}{3}=0

A questo punto calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori e scriviamo l'equazione a denominatore comune

\frac{3(x^3+6x^2+12x+8)-3x^3+12x-8}{12}=0

da cui

\frac{3x^3+18x^2+36x+24-3x^3+12x-8}{12}=0

Grazie ai principi di equivalenza per le equazioni possiamo eliminare il denominatore e ottenere l'equazione equivalente

3x^3+18x^2+36x+24-3x^3+12x-8=0

Cancelliamo i monomi opposti e sommiamo tra loro quelli simili, dopodiché ordiniamo i termini secondo le potenze decrescenti dell'incognita

18x^2+48x+16=0

Notiamo che possiamo raccogliere 2 a fattore comune e in seguito semplificarlo

9x^2+24x+8=0

Ci siamo ricondotti alla forma normale, l'equazione infatti è del tipo

ax^2+bx+c=0

dove a,b\ \mbox{e} \ c assumono i seguenti valori:

a=9 \ \ \ ; \ \ \ b=24 \ \ \ ; \ \ \ c=8

Utilizziamo la formula del discriminante

\Delta=b^2-4ac=24^2-4\cdot 9\cdot 8=288

e calcoliamone la radice quadrata a parte: in questo modo sarà più facile utilizzare le proprietà dei radicali per semplificare il più possibile il risultato finale.

\sqrt{\Delta}=\sqrt{288}=

Scomponiamo in fattori primi 288

=\sqrt{2^5\cdot 3^2}=

dopodiché trasportiamo fuori dalla radice tutti i possibili fattori

=2^2\cdot 3\sqrt{2}=12\sqrt{2}

Ora che disponiamo della radice del delta semplificata all'osso, siamo in grado di esplicitare le due soluzioni reali e distinte dell'equazione

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-24\pm 12\sqrt{2}}{2\cdot 9}=

Al numeratore raccogliamo 12 e semplifichiamolo in seguito con i fattori a denominatore

=\frac{12(-2\pm\sqrt{2})}{2\cdot 9}=\frac{2(-2\pm\sqrt{2})}{3}=

da cui

=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{3}=\begin{cases}\frac{-4-2\sqrt{2}}{3}=x_1 \\ \\ \frac{-4+2\sqrt{2}}{3}=x_2\end{cases}

In definitiva, l'insieme delle soluzioni dell'equazione è

S=\left\{\frac{-4-2\sqrt{2}}{3}, \frac{-4+2\sqrt{2}}{3}\right\}

Abbiamo terminato!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, CarFaby
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Os