Fattorizzare un binomio con somma di termini di quarto grado

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Fattorizzare un binomio con somma di termini di quarto grado #6042

avt
federico
Cerchio
Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione di un binomio che non sono in grado di risolvere: mi ritrovo davanti la somma di due termini di quarto grado che devo scomporre nel prodotto di polinomi a coefficienti reali. Potreste aiutarmi, per favore?

Utilizzare l'opportuna tecnica di fattorizzazione per scomporre il seguente binomio nel prodotto di polinomi a coefficienti reali.

2x^4+3y^4

Grazie.
 
 

Fattorizzare un binomio con somma di termini di quarto grado #6049

avt
Ifrit
Amministratore
Per fattorizzare il polinomio

2x^4+3y^4

nel prodotto di polinomi a coefficienti reali, possiamo avvalerci della tecnica di scomposizione relativa alla somma di potenze quarte.

Usando le proprietà delle potenze, in concomitanza con la definizione di radicale, possiamo riscrivere i termini 2x^4\ \mbox{e} \ 3y^4 come due quadrati

\\ 2x^4=(\sqrt{2})^2(x^2)^2=(\sqrt{2}x^2)^2 \\ \\ \mbox{e} \\ \\ 3y^4=(\sqrt{3})^2(y^2)^2=(\sqrt{3}y^2)^2

pertanto possiamo rivedere il binomio

2x^4+3y^4=

nella somma di quadrati

=(\sqrt{2}x^2)^2+(\sqrt{3}y^2)^2=(\bullet)

dopodiché aggiungiamo e sottraiamo il doppio prodotto delle basi \sqrt{2}\ \mbox{e} \ \sqrt{3}, vale a dire

2\cdot(\sqrt{2}x^2)\cdot(\sqrt{3}y^2)=2\sqrt{2\cdot 3}x^2y^2=2\sqrt{6}x^2y^2

così da completare il quadrato di \sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2.

(\bullet)=(\sqrt{2}x^2)^2+(\sqrt{3}y^2)^2+2\sqrt{6}x^2y^2-2\sqrt{6}x^2y^2=

Poiché i primi tre addendi costituiscono lo sviluppo del quadrato del binomio \sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2, per cui possiamo rimpiazzare la loro somma con (\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2)^2

(\bullet)=(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2)^2-2\sqrt{6}x^2y^2

Usiamo nuovamente le proprietà delle potenze e le proprietà dei radicali per esprimere 2\sqrt{6}x^2y^2 sotto forma di un unico quadrato

2\sqrt{6}x^2y^2=\left(\sqrt{2\sqrt{6}}\right)^2x^2y^2=\left(\sqrt{2\sqrt{6}}xy\right)^2

e riscriviamo l'espressione

(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2)^2-2\sqrt{6}x^2y^2=

nella differenza di due quadrati

=(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2)^2-\left(\sqrt{2\sqrt{6}}xy\right)^2=

Essa può essere decomposta nel prodotto tra la somma delle basi per la loro differenza, vale a dire:

=\left(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2+\sqrt{2\sqrt{6}}xy\right)\left(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2-\sqrt{2\sqrt{6}}xy\right)

Abbiamo finito: abbiamo espresso il binomio dato come prodotto di polinomi a coefficienti reali. Si noti che le proprietà dei radicali consentono di semplificare il termine irrazionale \sqrt{2\sqrt{6}} come \sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{6}, infatti sussistono le seguenti uguaglianze:

\sqrt{2\sqrt{6}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\sqrt{6}}=\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{6}

per cui la scomposizione del polinomio può essere riespressa come segue:

\left(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2+\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{6}\cdot xy\right)\left(\sqrt{2}x^2+\sqrt{3}y^2-\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{6}\cdot xy\right)

Ora possiamo mettere un punto all'esercizio.
Ringraziano: Omega, Pi Greco
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Os