Fattorizzare un binomio con somma di termini di quarto grado

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#6042
avt
federico
Cerchio

Mi è capitato un esercizio sulla scomposizione di un binomio che non sono in grado di risolvere: mi ritrovo davanti la somma di due termini di quarto grado che devo scomporre nel prodotto di polinomi a coefficienti reali. Potreste aiutarmi, per favore?

Utilizzare l'opportuna tecnica di fattorizzazione per scomporre il seguente binomio nel prodotto di polinomi a coefficienti reali.

2x^4+3y^4

Grazie.

#6049
avt
Ifrit
Amministratore

Per fattorizzare il polinomio

2x^4+3y^4

nel prodotto di polinomi a coefficienti reali, possiamo avvalerci della tecnica di scomposizione relativa alla somma di potenze quarte.

Usando le proprietà delle potenze, in concomitanza con la definizione di radicale, possiamo riscrivere i termini 2x^4 e 3y^4 come due quadrati

2x^4 = (√(2))^2(x^2)^2 = (√(2)x^2)^2 ; e ; 3y^4 = (√(3))^2(y^2)^2 = (√(3)y^2)^2

pertanto possiamo rivedere il binomio

2x^4+3y^4 =

nella somma di quadrati

= (√(2)x^2)^2+(√(3)y^2)^2 = (•)

dopodiché aggiungiamo e sottraiamo il doppio prodotto delle basi √(2) e √(3), vale a dire

2·(√(2)x^2)·(√(3)y^2) = 2√(2·3)x^2y^2 = 2√(6)x^2y^2

così da completare il quadrato di √(2)x^2+√(3)y^2.

(•) = (√(2)x^2)^2+(√(3)y^2)^2+2√(6)x^2y^2−2√(6)x^2y^2 =

Poiché i primi tre addendi costituiscono lo sviluppo del quadrato del binomio √(2)x^2+√(3)y^2, per cui possiamo rimpiazzare la loro somma con (√(2)x^2+√(3)y^2)^2

(•) = (√(2)x^2+√(3)y^2)^2−2√(6)x^2y^2

Usiamo nuovamente le proprietà delle potenze e le proprietà dei radicali per esprimere 2√(6)x^2y^2 sotto forma di un unico quadrato

2√(6)x^2y^2 = (√(2√(6)))^2x^2y^2 = (√(2√(6))xy)^2

e riscriviamo l'espressione

(√(2)x^2+√(3)y^2)^2−2√(6)x^2y^2 =

nella differenza di due quadrati

= (√(2)x^2+√(3)y^2)^2−(√(2√(6))xy)^2 =

Essa può essere decomposta nel prodotto tra la somma delle basi per la loro differenza, vale a dire:

= (√(2)x^2+√(3)y^2+√(2√(6))xy)(√(2)x^2+√(3)y^2−√(2√(6))xy)

Abbiamo finito: abbiamo espresso il binomio dato come prodotto di polinomi a coefficienti reali. Si noti che le proprietà dei radicali consentono di semplificare il termine irrazionale √(2√(6)) come √(2)·[4]√(6), infatti sussistono le seguenti uguaglianze:

√(2√(6)) = √(2)·√(√(6)) = √(2)·[4]√(6)

per cui la scomposizione del polinomio può essere riespressa come segue:

(√(2)x^2+√(3)y^2+√(2)·[4]√(6)·xy)(√(2)x^2+√(3)y^2−√(2)·[4]√(6)·xy)

Ora possiamo mettere un punto all'esercizio.

Ringraziano: Omega, Pi Greco
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