Per determinare l'insieme delle soluzioni dell'
equazione logaritmica
bisogna innanzitutto imporre le
condizioni di esistenza, richiedendo che gli argomenti dei
logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. Tali condizioni costituiranno quindi il seguente sistema di disequazioni
soddisfatto per

. Deduciamo che l'equazione è ben posta se l'incognita soddisfa il seguente vincolo
Possiamo finalmente dedicarci ai passaggi algebrici: il nostro obiettivo è ricondurre l'equazione in una delle forme canoniche usando le opportune
proprietà dei logaritmi. Per prima cosa trasportiamo al primo membro
In virtù della regola sul
logaritmo di un prodotto (letta al contrario), l'equazione si lascia esprimere come
e una volta applicata la regola relativa al
prodotto di una somma per una differenza, ricaviamo
Ci siamo ricondotti alla forma normale
pertanto siamo autorizzati ad applicare l'esponenziale in base due ai due membri così da ottenere l'
equazione di secondo grado
le cui soluzioni sono
Attenzione! Al contrario di

, il valore

non può essere soluzione dell'equazione di partenza perché non rispetta la condizione di esistenza

.
In definitiva possiamo concludere che l'equazione logaritmica
ammette come unica soluzione

.
Abbiamo finito.