Esercizio equazione logaritmica in base 2

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Esercizio equazione logaritmica in base 2 #60260

\|complicato\| Punto	Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione logaritmica risolvibile con il passaggio all'esponenziale. Ho provato a risolverla usando la teoria, ma i risultati non coincidono con quelli proposti dal libro. Calcolare tutte le soluzioni dell'equazione logaritmica $\log_{2}(x-6)=6-\log_{2}(x+6)$ Come si fa? Grazie.

Esercizio equazione logaritmica in base 2 #60293

Ifrit

Amministratore

Per determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione logaritmica

$\log_{2}(x-6)=6-\log_{2}(x+6)$

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. Tali condizioni costituiranno quindi il seguente sistema di disequazioni

$\begin{cases}x-6>0 \\ \\ x+6>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x>6\\ \\ x>-6\end{cases}$

soddisfatto per

. Deduciamo che l'equazione è ben posta se l'incognita soddisfa il seguente vincolo

$C.E.:\ x>6$

Possiamo finalmente dedicarci ai passaggi algebrici: il nostro obiettivo è ricondurre l'equazione in una delle forme canoniche usando le opportune proprietà dei logaritmi. Per prima cosa trasportiamo al primo membro $-\log_{2}(x+6)$

$\log_{2}(x-6)+\log_{2}(x+6)=6$

In virtù della regola sul logaritmo di un prodotto (letta al contrario), l'equazione si lascia esprimere come

$\log_{2}((x-6)(x+6))=6$

e una volta applicata la regola relativa al prodotto di una somma per una differenza, ricaviamo

$\log_{2}(x^2-36)=6$

Ci siamo ricondotti alla forma normale

$\log_{a}(A(x))=b$

pertanto siamo autorizzati ad applicare l'esponenziale in base due ai due membri così da ottenere l'equazione di secondo grado

$x^2-36=2^6\ \ \ \to \ \ \ x^2=36+64 \ \ \ \to \ \ \ x^2=100$

le cui soluzioni sono

$x_1=-10\ \ \ , \ \ \ x_2=10$

Attenzione! Al contrario di

, il valore

non può essere soluzione dell'equazione di partenza perché non rispetta la condizione di esistenza $C.E.: \ x>6$ .

In definitiva possiamo concludere che l'equazione logaritmica

$\log_{2}(x-6)=6-\log_{2}(x+6)$

ammette come unica soluzione

.

Abbiamo finito.

Ringraziano: Omega

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