Esercizio equazione logaritmica in base 2

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Esercizio equazione logaritmica in base 2 #60260

avt
|complicato|
Punto
Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione logaritmica risolvibile con il passaggio all'esponenziale. Ho provato a risolverla usando la teoria, ma i risultati non coincidono con quelli proposti dal libro.

Calcolare tutte le soluzioni dell'equazione logaritmica

log_(2)(x-6) = 6-log_(2)(x+6)

Come si fa? Grazie.
 
 

Esercizio equazione logaritmica in base 2 #60293

avt
Ifrit
Amministratore
Per determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione logaritmica

log_(2)(x-6) = 6-log_(2)(x+6)

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. Tali condizioni costituiranno quindi il seguente sistema di disequazioni

x-6 > 0 ; x+6 > 0 → x > 6 ; x > -6

soddisfatto per x > 6. Deduciamo che l'equazione è ben posta se l'incognita soddisfa il seguente vincolo

C.E.: x > 6

Possiamo finalmente dedicarci ai passaggi algebrici: il nostro obiettivo è ricondurre l'equazione in una delle forme canoniche usando le opportune proprietà dei logaritmi. Per prima cosa trasportiamo al primo membro -log_(2)(x+6)

log_(2)(x-6)+log_(2)(x+6) = 6

In virtù della regola sul logaritmo di un prodotto (letta al contrario), l'equazione si lascia esprimere come

log_(2)((x-6)(x+6)) = 6

e una volta applicata la regola relativa al prodotto di una somma per una differenza, ricaviamo

log_(2)(x^2-36) = 6

Ci siamo ricondotti alla forma normale

log_(a)(A(x)) = b

pertanto siamo autorizzati ad applicare l'esponenziale in base due ai due membri così da ottenere l'equazione di secondo grado

x^2-36 = 2^6 → x^2 = 36+64 → x^2 = 100

le cui soluzioni sono

x_1 = -10 , x_2 = 10

Attenzione! Al contrario di x_2 = 10, il valore x_1 = -10 non può essere soluzione dell'equazione di partenza perché non rispetta la condizione di esistenza C.E.: x > 6.

In definitiva possiamo concludere che l'equazione logaritmica

log_(2)(x-6) = 6-log_(2)(x+6)

ammette come unica soluzione x = 10.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os