Esercizio equazione logaritmica in base 2

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Esercizio equazione logaritmica in base 2 #60260

avt
|complicato|
Cerchio
Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione logaritmica risolvibile con il passaggio all'esponenziale. Ho provato a risolverla usando la teoria, ma i risultati non coincidono con quelli proposti dal libro.

Calcolare tutte le soluzioni dell'equazione logaritmica

\log_{2}(x-6)=6-\log_{2}(x+6)

Come si fa? Grazie.
 
 

Esercizio equazione logaritmica in base 2 #60293

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione logaritmica

\log_{2}(x-6)=6-\log_{2}(x+6)

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. Tali condizioni costituiranno quindi il seguente sistema di disequazioni

\begin{cases}x-6>0 \\ \\ x+6>0\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x>6\\ \\ x>-6\end{cases}

soddisfatto per x>6. Deduciamo che l'equazione è ben posta se l'incognita soddisfa il seguente vincolo

C.E.:\ x>6

Possiamo finalmente dedicarci ai passaggi algebrici: il nostro obiettivo è ricondurre l'equazione in una delle forme canoniche usando le opportune proprietà dei logaritmi. Per prima cosa trasportiamo al primo membro -\log_{2}(x+6)

\log_{2}(x-6)+\log_{2}(x+6)=6

In virtù della regola sul logaritmo di un prodotto (letta al contrario), l'equazione si lascia esprimere come

\log_{2}((x-6)(x+6))=6

e una volta applicata la regola relativa al prodotto di una somma per una differenza, ricaviamo

\log_{2}(x^2-36)=6

Ci siamo ricondotti alla forma normale

\log_{a}(A(x))=b

pertanto siamo autorizzati ad applicare l'esponenziale in base due ai due membri così da ottenere l'equazione di secondo grado

x^2-36=2^6\ \ \ \to \ \ \ x^2=36+64 \ \ \ \to \ \ \ x^2=100

le cui soluzioni sono

x_1=-10\ \ \ , \ \ \ x_2=10

Attenzione! Al contrario di x_2=10, il valore x_1=-10 non può essere soluzione dell'equazione di partenza perché non rispetta la condizione di esistenza C.E.: \ x>6.

In definitiva possiamo concludere che l'equazione logaritmica

\log_{2}(x-6)=6-\log_{2}(x+6)

ammette come unica soluzione x=10.

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os