Esercizio equazione logaritmica in base 2

Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare le soluzioni di un'equazione logaritmica risolvibile con il passaggio all'esponenziale. Ho provato a risolverla usando la teoria, ma i risultati non coincidono con quelli proposti dal libro.

Calcolare tutte le soluzioni dell'equazione logaritmica



Come si fa? Grazie.

Per determinare l'insieme delle soluzioni dell'equazione logaritmica



bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza, richiedendo che gli argomenti dei logaritmi che contengono l'incognita siano contemporaneamente maggiori di zero. Tali condizioni costituiranno quindi il seguente sistema di disequazioni



soddisfatto per . Deduciamo che l'equazione è ben posta se l'incognita soddisfa il seguente vincolo



Possiamo finalmente dedicarci ai passaggi algebrici: il nostro obiettivo è ricondurre l'equazione in una delle forme canoniche usando le opportune proprietà dei logaritmi. Per prima cosa trasportiamo al primo membro



In virtù della regola sul logaritmo di un prodotto (letta al contrario), l'equazione si lascia esprimere come



e una volta applicata la regola relativa al prodotto di una somma per una differenza, ricaviamo



Ci siamo ricondotti alla forma normale



pertanto siamo autorizzati ad applicare l'esponenziale in base due ai due membri così da ottenere l'equazione di secondo grado



le cui soluzioni sono



Attenzione! Al contrario di , il valore non può essere soluzione dell'equazione di partenza perché non rispetta la condizione di esistenza .

In definitiva possiamo concludere che l'equazione logaritmica



ammette come unica soluzione .

Abbiamo finito.