Esercizio equazione con logaritmo di logaritmo

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Esercizio equazione con logaritmo di logaritmo #59917

avt
nicklogan
Punto
Riscontro diverse difficoltà nella risoluzione di un'equazione con i logaritmi. Le mie perplessità risiedono nel fatto che nell'equazione compaiono logaritmi di logaritmi che hanno basi differenti. Ho tentato di usare le proprietà dei logaritmi, senza raggiungere nulla di concreto.

Determinare le eventuali soluzioni dell'equazione logaritmica

log_(2)(1-log_(3)(2)-log_(3)(1-x^3)) = 1

Grazie.
 
 

Esercizio equazione con logaritmo di logaritmo #59920

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di determinare i valori dell'incognita x che soddisfano l'equazione logaritmica

log_(2)(1-log_(3)(2)-log_(3)(1-x^3)) = 1

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico, dobbiamo imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi siano maggiori di zero.

Affinché il logaritmo interno - quello in base 3 - abbia senso, deve sussistere la disequazione

1-x^3 > 0 → x^3 < 1 → x < 1

Per quanto concerne l'esistenza del logaritmo esterno - quello in base 2 - bisogna imporre la disequazione logaritmica

1-log_(3)(2)-log_(3)(1-x^3) > 0

Tenendo conto del vincolo x < 1, risolviamola isolando log_(3)(1-x^3) al primo membro

-log_(3)(1-x^3) > log_(3)(2)-1

Cambiamo segni e verso

log_(3)(1-x^3) < 1-log_(3)(2)

scriviamo 1 come logaritmo in base 3 di 3

log_(3)(1-x^3) < log_(3)(3)-log_(3)(2)

e utilizziamo la proprietà dei logaritmi che consente di esprimere la differenza dei logaritmi a destra come un unico logaritmo avente per argomento il quoziente degli argomenti

log_(3)(1-x^3) < log_(3)((3)/(2))

Per determinare l'insieme soluzione della disequazione è sufficiente confrontare gli argomenti

1-x^3 < (3)/(2) → -x^3 < (1)/(2)

Cambiamo segni e verso

x^3 > -(1)/(2)

e infine estraiamo la radice cubica così da ricavare:

x > -[3]√((1)/(2))

L'equazione di partenza è ben posta quindi se e solo se sono soddisfatte contemporaneamente le condizioni

x < 1 e x > -[3]√((1)/(2))

ossia se:

C.E.: -[3]√((1)/(2)) < x < 1

Ritorniamo all'equazione

log_(2)(1-log_(3)(2)-log_(3)(1-x^3)) = 1

e partiamo con la risoluzione. Applichiamo ai due membri l'esponenziale in base 2

1-log_(3)(2)-log_(3)(1-x^3) = 2

e isoliamo log_(3)(1-x^3) a sinistra

-log_(3)(1-x^3) = 1+log_(3)(2) ; log_(3)(1-x^3) = -1-log_(3)(2)

Scriviamo 1 come logaritmo in base 3 di 3

log_(3)(1-x^3) = -log_(3)(3)-log_(3)(2)

e sfruttiamo la proprietà dei logaritmi che consente di esprimere la somma algebrica al secondo membro come un unico logaritmo

log_(3)(1-x^3) = -log_(3)(6) → log_(3)(1-x^3) = log_(3)((1)/(6))

I termini logaritmici hanno la medesima base, dunque è sufficiente uguagliare i loro argomenti per garantire l'uguaglianza

1-x^3 = (1)/(6)

da cui

-x^3 = -1+(1)/(6) → x^3 = (5)/(6)

infine estraiamo la radice cubica a destra e a sinistra

x = [3]√((5)/(6))

Il valore ottenuto rispetta le condizioni di esistenza, pertanto è effettivamente soluzione dell'equazione data.
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Os