Risolvere una disequazione con modulo

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Risolvere una disequazione con modulo #59871

avt
marty98
Punto
Ciao ho provato a svolgere questa disequazione con modulo ma il mio risultato è diverso da quello del libro, potreste dirmi se ho sbagliato?

|3x-4|+x>2(x-1) soluzione S=R

Ponendo il modulo positivo cioè per x>uguale a 4/3 dal sistema ottengo x>1 quindi l’intervallo è 1<x<4/3

Ponendo il modulo negativo, cioè x<4/3 dl sistema ottengo x<3/2, quindi l’intervallo è 4/3<x<3/2.

Unendo le due soluzioni secondo me la soluzione della disequazione sarebbe 1<x<3/2.

Perché il testo mi dà come soluzione: S=R? Non riesco proprio a capire.
Grazie per l’aiuto che continuamente mi date.
Ringraziano: montgomery01
 
 

Risolvere una disequazione con modulo #59901

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao marty98

Quella che proponi è una disequazione con valore assoluto.
Ti chiedo di stare attento al linguaggio con cui ti esprimi. Non puoi dire:"ponendo il modulo negativo" perché il modulo, o valore assoluto, è sempre positivo o nullo. Quello che "poni negativo" è l'argomento del modulo.

Ad ogni modo la disequazione si dovrebbe risolvere in questo modo:

|3x-4|+x>2(x-1)

equivale all'unione dei sistemi:

\begin{cases}3x-4\ge 0&\mbox{argomento }\ge 0\\ 3x-4+x>2(x-1)\end{cases}\cup\begin{cases}3x-4<0&\mbox{argomento }< 0\\ 4-3x+x>2(x-1)\end{cases}

Consideriamo il primo sistema:

\begin{cases}x\ge \frac{4}{3}\\ 3x-4+x>2(x-1)\end{cases}

Risolviamo la seconda disequazione:

3x-4+x>2x-2

3x-4+x-2x+2>0

sommiamo i termini simili:

2x-2>0\implies x>1

Intersechiamo le due condizioni:

\begin{cases}x\ge \frac{4}{3}\\ x>1\end{cases}

che ha per soluzioni S_1= x\ge \frac{4}{3}

Prendiamo in considerazione il secondo sistema:

\begin{cases}3x-4<0\\ 4-3x+x>2(x-1)\end{cases}

dalla prima disequazione abbiamo che:

3x-4<0\implies x\le \frac{4}{3}

Consideriamo la seconda disequazione:

4-3x+x>2(x-1)

4-3x+x>2x-2

Portiamo al primo membro i termini con la x e al secondo membro i termini senza x stando attenti ai segni:

-3x+x-2x>-2-4

sommiamo i termini simili:

-4x>-6

cambiamo segno membro a membro ricordandoci che dobbiamo cambiare anche il verso della disuguaglianza:

4x<6\implies x<\frac{3}{2}

Arriveremo a scrivere il sistema:

\begin{cases}x<\frac{4}{6}\\ x<\frac{3}{2}\end{cases}

che ha per soluzione: S_2:\,x<\frac{4}{3}

A questo punto dobbiamo unire le soluzioni e facendolo otterrai che la soluzione è S=S_1\cup S_2= \mathbb{R}

Spero sia chiaro emt

Leggi anche le disequazioni di primo grado!
Ringraziano: Omega, marty98
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Os