Equazione di grado 2 con coefficienti fratti

Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione di secondo grado a coefficienti fratti. Secondo il suggerimento, l'equazione si riduce a un'equazione spuria, ma i miei calcoli mi dicono tutt'altro. Potreste aiutarmi?

Calcolare le soluzioni dell'equazione di secondo grado a coefficienti fratti



Suggerimento: si riconduce a un'equazione spuria.

Grazie.

Per risolvere l'equazione



dobbiamo innanzitutto eseguire i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale. Portiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni



dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori così da esprimere le frazioni a denominatore comune



I principi di equivalenza per le equazioni - in particolare il secondo - consentono di cancellare il denominatore e di ricondurci all'equazione equivalente



Eseguiamo il prodotto utilizzando a dovere la regola dei segni, eliminando così le parentesi tonde



Sommiamo tra loro i monomi simili



e osserviamo che quella ottenuta è un'equazione spuria. Il perché dovrebbe essere chiaro, il termine noto è pari a zero.

Procediamo con la risoluzione raccogliendo totalmente il fattore



dopodiché usufruiamo della legge di annullamento del prodotto. Essa garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero, scriviamo pertanto:



Esse sono due equazioni di primo grado, la prima delle quali fornisce già una soluzione. Occupiamoci della seconda e risolviamola isolando al primo membro



In definitiva possiamo concludere che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte



ed è dunque determinata, con insieme soluzione .

Abbiamo finito.