Equazione di grado 2 con coefficienti fratti

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Equazione di grado 2 con coefficienti fratti #59415

avt
AmberRise90
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un'equazione di secondo grado a coefficienti fratti. Secondo il suggerimento, l'equazione si riduce a un'equazione spuria, ma i miei calcoli mi dicono tutt'altro. Potreste aiutarmi?

Calcolare le soluzioni dell'equazione di secondo grado a coefficienti fratti

\frac{x}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2-x^2}{4}

Suggerimento: si riconduce a un'equazione spuria.

Grazie.
 
 

Equazione di grado 2 con coefficienti fratti #59507

avt
Omega
Amministratore
Per risolvere l'equazione

\frac{x}{3}+\frac{1}{2}=\frac{2-x^2}{4}

dobbiamo innanzitutto eseguire i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale. Portiamo tutti i termini al primo membro, prestando la massima attenzione ai segni

\frac{x}{3}+\frac{1}{2}-\frac{2-x^2}{4}=0

dopodiché calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori così da esprimere le frazioni a denominatore comune

\frac{4x-6-3(2-x^2)}{12}=0

I principi di equivalenza per le equazioni - in particolare il secondo - consentono di cancellare il denominatore e di ricondurci all'equazione equivalente

4x-6-3(2-x^2)=0

Eseguiamo il prodotto utilizzando a dovere la regola dei segni, eliminando così le parentesi tonde

4x-6-6+3x^2=0

Sommiamo tra loro i monomi simili

4x+3x^2=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x^2+4x=0

e osserviamo che quella ottenuta è un'equazione spuria. Il perché dovrebbe essere chiaro, il termine noto è pari a zero.

Procediamo con la risoluzione raccogliendo totalmente il fattore x

x(3x+4)=0

dopodiché usufruiamo della legge di annullamento del prodotto. Essa garantisce che il prodotto al primo membro è nullo se e solo se almeno uno dei fattori che lo compongono è zero, scriviamo pertanto:

\\ x=0 \\ \\ 3x+4=0

Esse sono due equazioni di primo grado, la prima delle quali fornisce già una soluzione. Occupiamoci della seconda e risolviamola isolando x al primo membro

3x+4=0 \ \ \ \to \ \ \ 3x=-4 \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{4}{3}

In definitiva possiamo concludere che l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte

x_1=-\frac{4}{3} \ \ \ ; \ \ \ x_2=0

ed è dunque determinata, con insieme soluzione S=\left\{-\frac{4}{3}, 0\right\}.

Abbiamo finito.
Ringraziano: AmberRise90
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Os