Equazione di primo grado fratta con i radicali

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Equazione di primo grado fratta con i radicali #58925

avt
Christian1988
Cerchio
Ho bisogno di una mano nel risolvere un'equazione fratta di primo grado in cui sono presenti dei coefficienti irrazionali. Ho provato a usare le regole dei radicali per trovare il risultato, senza però riuscirci.

Risolvere la seguente equazione fratta di primo grado a coefficienti irrazionali, applicando le proprietà dei radicali

\frac{\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}(x-\sqrt{2})}
 
 

Equazione di primo grado fratta con i radicali #58932

avt
Ifrit
Ambasciatore
Consideriamo l'equazione fratta di primo grado

\frac{\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}(x-\sqrt{2})}

e iniziamo a risolverla imponendo le opportune condizioni di esistenza: dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

\\ x-\sqrt{2}\ne 0  \ \ \to \ \ x\ne \sqrt{2} \\ \\ x+\sqrt{3}\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -\sqrt{3}

L'insieme di esistenza è pertanto

C.E.: \ x\ne \sqrt{2} \ \wedge \ x\ne -\sqrt{3}

dove \wedge è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Procediamo con la risoluzione trasportando tutte le frazioni al primo membro stando attenti ai segni

\frac{\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}}-\frac{3}{\sqrt{3}(x-\sqrt{2})}=0

dopodiché esprimiamo le frazioni a denominatore comune, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore.

\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}(x+\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}(x-\sqrt{2})-3(x+\sqrt{3})}{\sqrt{3}(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{3})}=0

Sotto i vincoli dettati dalle C.E. possiamo eliminare il denominatore ricavando comunque l'equazione equivalente

\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}(x+\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}(x-\sqrt{2})-3(x+\sqrt{3})=0

A questo punto eseguiamo le moltiplicazioni tra i radicali

\\ \sqrt{6}(x+\sqrt{3})+\sqrt{9}(x-\sqrt{2})-3(x+\sqrt{3})=0 \\ \\ \sqrt{6}(x+\sqrt{3})+3(x-\sqrt{2})-3(x+\sqrt{3})=0

ed effettuiamo i prodotti rimasti applicando a dovere la regola dei segni

\\ \sqrt{6}x+\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}+3x-3\sqrt{2}-3x-3\sqrt{3}=0 \\ \\ \sqrt{6}x+\sqrt{18}+3x-3\sqrt{2}-3x-3\sqrt{3}=0

A questo punto isoliamo i termini con l'incognita al primo membro, trasportando al secondo tutti quei termini senza l'incognita cambiando il loro segno

\sqrt{6}x+3x-3x=-\sqrt{18}+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}

da cui sommando i termini simili al primo membro ricaviamo l'equazione di primo grado

\sqrt{6}x=-\sqrt{18}+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}

Prima di procedere oltre, scriviamo in forma normale il radicale -\sqrt{18}. Scomponendo in fattori primi 18 il radicale diventa

-\sqrt{18}=-\sqrt{3^2\cdot 2}=-3\sqrt{2}

dove nell'ultimo passaggio abbiamo trasportato fuori dalla radice il fattore 3. Con questa informazione, l'equazione da risolvere si riscrive come

\sqrt{6}x=-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}

Sommiamo i radicali simili tra loro

\sqrt{6}x=3\sqrt{3}

Siamo prossimi alla conclusione: è sufficiente dividere i due membri per il coefficiente di x

x=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}}

e razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per \sqrt{6}

x=\frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}} \ \ \to \ \ x=\frac{3\sqrt{18}}{6}

Riduciamo il radicale \sqrt{18} in forma normale e semplifichiamo in seguito il risultato

x=\frac{9\sqrt{2}}{6} \ \ \to \ \ x=\frac{3\sqrt{2}}{2}

Siamo finalmente in grado di concludere che l'equazione è determinata e l'insieme delle soluzioni è S=\left\{\frac{3\sqrt{2}}{2}\right\}.

Ecco fatto!
Ringraziano: Christian1988
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Os