Equazione di primo grado fratta con i radicali

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Equazione di primo grado fratta con i radicali #58925

avt
Christian1988
Cerchio
Ho bisogno di una mano nel risolvere un'equazione fratta di primo grado in cui sono presenti dei coefficienti irrazionali. Ho provato a usare le regole dei radicali per trovare il risultato, senza però riuscirci.

Risolvere la seguente equazione fratta di primo grado a coefficienti irrazionali, applicando le proprietà dei radicali

(√(2))/(x-√(2))+(√(3))/(x+√(3)) = (3)/(√(3)(x-√(2)))
 
 

Equazione di primo grado fratta con i radicali #58932

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione fratta di primo grado

(√(2))/(x-√(2))+(√(3))/(x+√(3)) = (3)/(√(3)(x-√(2)))

e iniziamo a risolverla imponendo le opportune condizioni di esistenza: dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono l'incognita siano diversi da zero.

x-√(2) ne 0 → x ne √(2) ; x+√(3) ne 0 → x ne-√(3)

L'insieme di esistenza è pertanto

C.E.: x ne √(2) ∧ x ne-√(3)

dove ∧ è il simbolo matematico che indica il connettivo logico "e".

Procediamo con la risoluzione trasportando tutte le frazioni al primo membro stando attenti ai segni

(√(2))/(x-√(2))+(√(3))/(x+√(3))-(3)/(√(3)(x-√(2))) = 0

dopodiché esprimiamo le frazioni a denominatore comune, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore.

(√(2)·√(3)(x+√(3))+√(3)·√(3)(x-√(2))-3(x+√(3)))/(√(3)(x-√(2))(x+√(3))) = 0

Sotto i vincoli dettati dalle C.E. possiamo eliminare il denominatore ricavando comunque l'equazione equivalente

√(2)·√(3)(x+√(3))+√(3)·√(3)(x-√(2))-3(x+√(3)) = 0

A questo punto eseguiamo le moltiplicazioni tra i radicali

√(6)(x+√(3))+√(9)(x-√(2))-3(x+√(3)) = 0 ; √(6)(x+√(3))+3(x-√(2))-3(x+√(3)) = 0

ed effettuiamo i prodotti rimasti applicando a dovere la regola dei segni

√(6)x+√(3)·√(6)+3x-3√(2)-3x-3√(3) = 0 ; √(6)x+√(18)+3x-3√(2)-3x-3√(3) = 0

A questo punto isoliamo i termini con l'incognita al primo membro, trasportando al secondo tutti quei termini senza l'incognita cambiando il loro segno

√(6)x+3x-3x = -√(18)+3√(2)+3√(3)

da cui sommando i termini simili al primo membro ricaviamo l'equazione di primo grado

√(6)x = -√(18)+3√(2)+3√(3)

Prima di procedere oltre, scriviamo in forma normale il radicale -√(18). Scomponendo in fattori primi 18 il radicale diventa

-√(18) = -√(3^2·2) = -3√(2)

dove nell'ultimo passaggio abbiamo trasportato fuori dalla radice il fattore 3. Con questa informazione, l'equazione da risolvere si riscrive come

√(6)x = -3√(2)+3√(2)+3√(3)

Sommiamo i radicali simili tra loro

√(6)x = 3√(3)

Siamo prossimi alla conclusione: è sufficiente dividere i due membri per il coefficiente di x

x = (3√(3))/(√(6))

e razionalizzare il denominatore moltiplicando e dividendo per √(6)

x = (3√(3)·√(6))/(√(6)·√(6)) → x = (3√(18))/(6)

Riduciamo il radicale √(18) in forma normale e semplifichiamo in seguito il risultato

x = (9√(2))/(6) → x = (3√(2))/(2)

Siamo finalmente in grado di concludere che l'equazione è determinata e l'insieme delle soluzioni è S = (3√(2))/(2).

Ecco fatto!
Ringraziano: Christian1988
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Os