Disequazioni intere letterali di secondo grado

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Disequazioni intere letterali di secondo grado #58772

avt
emarock88
Punto
Ciao a tutti avrei un piccolo problema con questa Disequazione intera letterale di secondo grado:

3(x-1)(x+1)+2x<-3-\frac{1}{a}

Che ho sviluppato cosi:

3x^{2}-3+2x<-3-\frac{1}{a}

3x^{2}-3+2x+3+\frac{1}{a}<0

\frac{a(3x^{2}+2x)}{a}<0

3ax^{2}+2ax+1<0


Il fattore (a) è presente anche al quadrato dell'incognita. Quindi devo trovare il valore di a quando a<0, a=0, a>0.

Calcolo il discriminante e le radici dell'equazione associata

\Delta = (2a)^{2}-4\cdot 3a\cdot1 = 4a^{2}-12a


a_{1,2}=\frac{-(-12)\pm\sqrt{144}}{8}

a=0,  a=3


Per\Delta =0 , a=0 , a=3 non \exists x\in R

Per\Delta <0 per 0< a < 3 non \exists x\in R

Per\Delta >0 per a<0 \vee a>3

E qui ho il problema. Non riesco a trovare le radici per \Delta >0

La soluzione sarebbe [ per 0<a\leq3 non \exists x\in R , per a< 0 \vee  a>3

-\frac{1}{3}\left ( \sqrt{\frac{a-3}{a}}+1 \right) <x< \frac{1}{3}\left ( \sqrt{\frac{a-3}{a}}-1 \right) ]
 
 

Re: Disequazioni intere letterali di secondo grado #58785

avt
Ifrit
Amministratore
Ciao emarock88, volevo fare i complimenti per come hai scritto il post, sei stato ineccepibile, hai rispettato il regolamento, tanto di cappello per un nuovo utente.



emarock88 ha scritto:
Ciao a tutti avrei un piccolo problema con questa Disequazione intera letterale di secondo grado:

3(x-1)(x+1)+2x<-3-\frac{1}{a}

Che ho sviluppato cosi:

3x^{2}-3+2x<-3-\frac{1}{a}

3x^{2}-3+2x+3+\frac{1}{a}<0



Fin qui va benissimo! emt


\frac{a(3x^{2}+2x)}{a}<0



Qui ti sei mangiato un uno. Dovresti arrivare a scrivere:

\frac{3a x^2+2a x+1}{a}<0

che però non è equivalente alla disequazione:

3ax^{2}+2ax+1<0


Il fattore (a) è presente anche al quadrato dell'incognita. Quindi devo trovare il valore di a quando a<0, a=0, a>0.


Attenzione, qui non devi considerare il caso a=0 perché si annullerebbe il denominatore di

\frac{3a x^2+2a x+1}{a}


Ora ragiona un momento, conviene lasciare la disequazione nella forma:

3x^2+2x+\frac{1}{a}<0

In tal caso puoi direttamente calcolare il discriminante:

\Delta= 4- 4\cdot 3\cdot \frac{1}{a}= 4\left(1-\frac{3}{a}\right)

Il discriminante è positivo se e solo se

4\left(1-\frac{3}{a}\right)\ge 0 (condizione di realtà delle radici)

Risolvi la disequazione, otterrai a<0\vee a\ge 3

Le soluzioni le trovi con le solite relazioni:

x_{1,2}= \frac{-2\pm \sqrt{4\left(1-\frac{3}{a}\right)}}{6}=\frac{-2\pm 2\sqrt{1-\frac{3}{a}}}{6}

metti in evidenza il due:

x_{1,2}=\frac{2\left(-1\pm \sqrt{1-\frac{3}{a}}\right)}{6}

semplifica

x_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{1-\frac{3}{a} }}{3}

Osserva ora che se 0\le a<3 non abbiamo soluzioni reali perché il discriminante è negativo. Adesso hai tutti i mezzi per concludere. emt
Ringraziano: emarock88

Re: Disequazioni intere letterali di secondo grado #58789

avt
emarock88
Punto
Davvero grazie mille, risposta praticamente tempestiva nonostante abbiate anche voi una vita. Grazie emt
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Os