Equazione fratta parametrica con frazioni di frazioni

Ho bisogno di una mano nel risolvere un'equazione letterale di primo grado fratta con un parametro. Il mio problema risiede nel fatto che l'equazione presenta una frazione di frazioni al primo membro che non so come risolvere.

Determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione parametrica di primo grado fratta



al variare del parametro reale .

Grazie.

Consideriamo l'equazione parametrica fratta di primo grado



e iniziamo la discussione imponendo le condizioni di esistenza. Poiché non è possibile dividere per zero, dobbiamo richiedere che i denominatori che contengono l'incognita o il parametro siano non nulli.



Le prime due disuguaglianze sono già risolte, analizziamo a parte la terza.



Scriviamo l'equazione fratta in forma normale, calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi al denominatore



Per e per , possiamo cancellare tranquillamente il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente:



Osserviamo che il primo membro è in realtà il quadrato del binomio , ecco perché la relazione si esprime come



Interviene ora la legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se ciascun fattore è non nullo. Osserviamo che i due fattori sono identici, pertanto basta richiedere che sia diverso da zero uno solo:



Ora siamo in grado di scrivere le condizioni di esistenza associate all'equazione:



Sottolineiamo che se , l'equazione perde di significato perché non è possibile dividere per zero. Per , eseguiamo i passaggi algebrici così da esprimere la frazione di frazioni in forma normale:



Sommiamo tra loro i termini simili



e moltiplichiamo il numeratore principale per il reciproco del denominatore principale



Semplifichiamo a dovere le due espressioni



e isoliamo l'incognita al primo membro



A questo punto dobbiamo richiedere che la soluzione trovata sia diversa da 0 e da per via delle condizioni di esistenza imposte.

Dal vincolo , ricaviamo



Se il parametro fosse uguale a -1, sarebbe uguale a zero, contro il vincolo , dunque l'equazione sarebbe impossibile perché non ammette soluzioni.

Dal vincolo



Se fosse uguale a , la soluzione diventerebbe



In tal caso verrebbe quindi violato il vincolo e l'equazione sarebbe impossibile.

Traiamo le conclusioni:

- se , l'equazione è priva di significato;

- se oppure se , l'equazione è impossibile, e il suo insieme soluzione coincide con l'insieme vuoto.

- se , l'equazione è determinata, con soluzione



Abbiamo terminato.