Quadrato di un trinomio con numeri periodici

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Quadrato di un trinomio con numeri periodici #58603

avt
casteddu
Cerchio
Come faccio a sviluppare il quadrato di un trinomio i cui coefficienti sono numeri decimali periodici? Dovrei per caso associare loro le frazioni che li generano? Sono molto confuso.

Determinare lo sviluppo del seguente quadrato di trinomio:

\left(-1,0\overline{9}+1,\overline{6}x-1,\overline{9}c\right)^2

Grazie mille.
 
 

Quadrato di un trinomio con numeri periodici #58766

avt
Ifrit
Ambasciatore
Il nostro compito consiste nello sviluppare il quadrato di trinomio

\left(-1,0\overline{9}+1,\overline{6}x-1,\overline{9}c\right)^2

usufruendo del prodotto notevole omonimo.

Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico occorre, però, esprimere i numeri decimali periodici nelle rispettive frazioni generatrici.

Ricordiamo che la frazione generatrice associata a un numero periodico semplice è quella frazione che ha:

- a numeratore, la differenza tra il numero, riportato senza la virgola, e la parte intera del numero;

- a denominatore, tanti nove quante sono le cifre che compongono il periodo.

Se il numero periodico è composto, la procedura è leggermente differente. La frazione generatrice ha:

- a numeratore, la differenza tra il numero, riportato senza virgola, e il numero formato con le cifre che non fanno parte del periodo;

- a denominatore, tanti nove quante sono le cifre del periodo e tanti zeri quante sono le cifre dell'antiperiodo.

In entrambi i casi, occorre ridurre la frazione ai minimi termini.

La breve parentesi teorica fornisce le regole che consentono di ricavare le frazioni generatrici associate ai due numeri periodici.

\\ 1,0\overline{9}=\frac{109-10}{90}=\frac{99}{90}=\frac{11}{10} \\ \\ \\ 1,\overline{6}=\frac{16-1}{9}=\frac{15}{9}=\frac{5}{3}\\ \\ \\ 1,\overline{9}=\frac{19-1}{9}=\frac{18}{9}=2

Note le frazioni associate ai numeri decimali, possiamo siamo autorizzati a scrivere la seguente relazione:

(-1,0\overline{9}+1,\overline{6}x-1,\overline{9}c)^2=\left(-\frac{11}{10}+\frac{5}{3}x-2c\right)^2

A questo punto interviene il prodotto notevole

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

che permette di sviluppare il quadrato della somma di tre termini come la somma tra il quadrato del primo, il quadrato del secondo, il quadrato del terzo a cui sommiamo il doppio prodotto tra il primo e il secondo, il doppio prodotto tra il primo e il terzo e il doppio prodotto tra il secondo e terzo termine.

In questa circostanza, i tre termini sono:

A=-\frac{11}{10}\ \ \ , \ \ \ B=\frac{5}{3}x \ \ \ \mbox{e} \ \ \ C=-2c

e usando il prodotto notevole, ricaviamo:

\\ \left(-\frac{11}{10}+\frac{5}{3}x+(-2c)\right)^2= \\ \\ \\ =\left(-\frac{11}{10}\right)^2+\left(\frac{5}{3}x\right)^2+(-2c)^2+2\cdot\left(-\frac{11}{10}\right)\cdot\frac{5}{3}x+2\cdot\left(-\frac{11}{10}\right)\cdot(-2c)+\\ \\ \\ +2\cdot\frac{5}{3}x\cdot(-2c)=

Svolgiamo con calma le operazioni con i monomi, esplicitando le potenze di potenze e usando a dovere la regola dei segni per attribuire il segno corretto ai vari prodotti.

=\frac{121}{100}+\frac{25}{9}x^2+4c^2-\frac{11}{3}x+\frac{22}{5}c-\frac{20}{3}cx

Per concludere, scriviamo lo sviluppo del quadrato di trinomio richiesto:

\\ \left(-1,0\overline{9}+1,\overline{6}x-1,\overline{9}c\right)^2= \\ \\ \\ =\frac{121}{100}+\frac{25}{9}x^2+4c^2-\frac{11}{3}x+\frac{22}{5}c-\frac{20}{3}cx

Ecco fatto.
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Os