Equazione con logaritmi e valori assoluti

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Equazione con logaritmi e valori assoluti #58460

avt
analisi2
Punto
Non sono in grado di risolvere un'equazione logaritmica in base naturale nella quale compaiono diversi valori assoluti. Il mio problema risiede proprio in questo: non riesco a sbarazzarmi dei moduli così da ricondurmi a un'equazione notevole.

Calcolare le soluzioni dell'equazione

|\ln(x-1)|=\ln(2)+\ln(|x|)

Come posso fare? Grazie.
 
 

Equazione con logaritmi e valori assoluti #58501

avt
Omega
Amministratore
Proponiamoci come obiettivo quello di risolvere l'equazione logaritmica

|\ln(x-1)|=\ln(2)+\ln(|x|)

Prima di effettuare qualsiasi passaggio algebrico, è fondamentale imporre le condizioni di esistenza: richiederemo che gli argomenti dei logaritmi siano positivi

x-1>0 \ \ \ \mbox{e} \  \ \ |x|>0

da cui ricaviamo che l'equazione è ben posta nel momento in cui sussiste il vincolo:

C.E.: \ x>1

In accordo con la definizione di valore assoluto, per x>1 si ha che

|x|=x

pertanto l'equazione si riscrive nella forma:

|\ln(x-1)|=\ln(2)+\ln(x)

Il prossimo passo consiste nell'applicare le proprietà dei logaritmi per fare in modo che l'equazione sia espressa in forma normale. Concentriamoci in particolare sulla somma di logaritmi a destra dell'uguale ed esprimiamola come il logaritmo del prodotto dei due argomenti

|\ln(x-1)|=\ln(2x)

A questo punto possiamo procedere con le tecniche risolutive che riguardano le equazioni con valore assoluto: studiamo il segno dell'argomento del modulo così da poter eliminarlo (specificando i segni dell'argomento):

\ln(x-1)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x-1\ge 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 2

da cui deduciamo che l'argomento del valore assoluto, ossia \ln(x-1), è:

- non negativo se e solo se x\ge 2;

- negativo se e solo se 1<x<2

Se x\ge 2, l'equazione diventa

\ln(x-1)=\ln(2x)

e uguagliando gli argomenti ricaviamo l'equazione di primo grado

x-1=2x \ \ \ \to \ \ \ x=-1

Il valore ottenuto non può essere soluzione dell'equazione data perché viola la condizione x\ge 2.

Se 1<x<2, il modulo sparisce a patto di cambiare il segno del proprio argomento

-\ln(x-1)=\ln(2x)

Trasportiamo il tutto al primo membro

-\ln(x-1)-\ln(2x)=0

e cambiamo i segni

\ln(x-1)+\ln(2x)=0

In virtù delle proprietà sulla somma di logaritmi, siamo autorizzati a scrivere l'equazione nella forma equivalente:

\ln(2x(x-1))=0

Applichiamo l'esponenziale in base e ai due membri così da cancellare il logaritmo

2x(x-1)=e^{0} \ \ \ \to \ \ \ 2x^2-2x-1=0

e determiniamo le soluzioni dell'equazione di secondo grado ottenuta.

Indichiamo con a, \ b\ \mbox{e} \ c rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto

a=2\ \ \ , \ \ \ b=-2 \ \ \ , \ \ \ c=-1

osservato che b=-2 è un numero facilmente divisibile per due, sfruttiamo la formula del delta quarti per risolvere l'equazione:

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=1+2=3

pertanto le soluzioni sono:

\\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\\ \\ \\ =\frac{-(-1)\pm\sqrt{3}}{2}=\begin{cases}\frac{1-\sqrt{3}}{2}=x_1 \\ \\ \frac{1+\sqrt{3}}{2}=x_2\end{cases}

Dei due valori ottenuti, solo

x=\frac{1+\sqrt{3}}{2}

è soluzione dell'equazione iniziale, infatti è l'unica che soddisfa le condizioni di esistenza e il vincolo 1<x<2.
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Os