Condizione per le soluzioni di un'equazione parametrica

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Condizione per le soluzioni di un'equazione parametrica #58386

avt
depa
Punto
Ciao, potreste aiutarmi? Devo studiare l'esistenza delle soluzioni di un'equazione parametrica di quarto grado, con un valore assoluto.

x^4 - 3|x| = k

con k appartenente a R possiede soluzioni reali se e solo se?
Come devo procedere?
 
 

Condizione per le soluzioni di un'equazione parametrica #58390

avt
Omega
Amministratore
Ciao Depa, innanzitutto ti invito a prendere visione delle linee guida del Forum. Ogni discussione proposta deve presentare un tentativo di risoluzione ed un'esposizione dettagliata dei propri dubbi. emt E' il tuo primo messaggio e dunque passa, le successive discussioni che non rispetteranno le linee guida verranno cancellate.

L'esercizio ti chiede di studiare l'equazione

x^4 - 3|x| = k

e in particolare di stabilire per quali valori del parametro reale k\in\mathbb{R} essa ammette soluzioni. Qui ti consiglio di procedere con un'analisi grafica dell'equazione.

Leggiamo l'equazione parametrica come

f(x)=k

dove f(x)=x^4-3|x|. Chiedersi per quali valori di k esiste almeno una soluzione equivale a chiedersi per quali valori di k la retta orizzontale y=k interseca il grafico della funzione y=f(x).

In parole povere l'equazione si riduce ad un confronto tra ordinate.

Dopo aver chiarito il metodo di risoluzione, vale la pena di ragionare sul miglior modo per applicarlo. Tutto si riduce sostanzialmente allo studio della funzione y=f(x). Hai due modi di procedere:

1) studi direttamente la funzione y=f(x), ne tracci il grafico e controlli quali intervalli di ordinata sono coperti dal grafico della funzione. Se prendiamo k appartenente a tali intervalli di ordinata, avremo la certezza che la retta y=k interseca il grafico e dunque che f(x)=k ammette almeno una soluzione.
Nota che l'esercizio ti chiede sostanzialmente:



2) Se il valore assoluto ti dà noia, puoi sfruttare la definizione di modulo e riscrivere la funzione come

f(x)=\begin{cases}x^4-3(-x)\mbox{ se }x<0\\ x^4-3(+x)\mbox{ se }x\geq 0\end{cases}


Comunque scegli di procedere, nota che la funzione è pari e dunque puoi limitarti a studiarla per x\geq 0. Su tale intervallo la sua espressione si riduce a f(x)=x^4-3x.


In conclusione troverai che il parametro k deve appartenere a [y_{min},+\infty) (l'estremo sinistro è il minimo assoluto della funzione)
]
grafico per equazione parametrica
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, depa

Condizione per le soluzioni di un'equazione parametrica #58414

avt
depa
Punto
Mi scuso per non aver indicato come avrei risolto l'esercizio senza il tuo aiuto ma non avevo idea di come fare, l'esercizio non chiede di studiare la funzione, mi propone quattro soluzioni, ovviamente ne devo scegliere una..
a questo punto cosa devo fare? devo porre x^4 - 3x > 0 ?

Condizione per le soluzioni di un'equazione parametrica #58419

avt
Omega
Amministratore
Le tue scuse sono senz'altro bene accette, ma sarebbe ancor più preferibile un'esposizione completa del problema. emt

l'esercizio non chiede di studiare la funzione


Premesso che ciò che pensa di dover fare chi non sa come risolvere è irrilevante nei confronti di ciò che effettivamente si deve fare

mi propone quattro soluzioni, ovviamente ne devo scegliere una


mi domando: perché centellinare l'esposizione della traccia?...

Ti ho mostrato quale metodo applicare per risolvere l'esercizio. Che tu lo voglia o no, il metodo generale è quello.


Se poi le soluzioni proposte dal libro permettono un approccio particolare e portano alla semplificazione dell'esercizio per scelta volontaria del redattore, bé, francamente non posso saperlo finché non le riporti... emt

Condizione per le soluzioni di un'equazione parametrica #58422

avt
depa
Punto
Scusami, di nuovo, le soluzioni proposte sono:
1) a > -9/4 \sqrt[3]{3/4}
2) a > -3/2\sqrt[3]{2}
3) a > -6\sqrt[3]{3/4}
4) a > -3\sqrt[3]{2}/4
Spero che quello che ho scritto sia comprensible emt

Condizione per le soluzioni di un'equazione parametrica #58434

avt
Omega
Amministratore
Ok, confermo: la possibilità di scegliere una soluzione non dà sconti. Devi procedere come ho indicato nella prima risposta, capire che l'immagine della funzione ha la forma di un'intervallo e determinare il minimo assoluto della funzione (valutazione nei punti di minimo assoluto).
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Os