Esercizio equazione con termini misti

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Esercizio equazione con termini misti #58341

avt
ermagnus95
Frattale
Avrei bisogno del vostro aiuto per capire come determinare le soluzioni di un'equazione con logaritmo ed esponenziale. Ad un primo sguardo, sembrerebbe un'equazione non risolvibile algebricamente, però il mio professore mi ha garantito che è possibile risolverla in maniera esatta.

Risolvere la seguente equazione

\ln(1+e^{2x})-4x=0

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, xavier310
 
 

Esercizio equazione con termini misti #58344

avt
Omega
Amministratore
Sebbene l'equazione logaritmica

\ln(1+e^{2x})-4x=0

abbia l'aspetto di un'equazione non risolvibile algebricamente, è possibile risolverla in maniera esatta se utilizziamo i passaggi algebrici giusti.

Prima di procedere è però opportuno effettuare alcune osservazioni sulla buona posizione della stessa. Proprio perché al primo membro compare un logaritmo naturale che è ben definito nel momento in cui il suo argomento è positivo, ossia se e solo se sussiste la cosiddetta condizione di esistenza

C.E.:\ 1+e^{2x}>0 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

Naturalmente la disequazione esponenziale è certamente verificata per ogni x, giacché al primo membro troviamo la somma tra una costante positiva (1) e l'esponenziale (e^{2x}) notoriamente positiva.

Notato ciò, torniamo all'equazione

\ln(1+e^{2x})-4x=0

e iniziamo isolando il termine logaritmico al primo membro

\ln(1+e^{2x})=4x

A questo punto non ci resta che applicare la funzione esponenziale membro a membro

e^{\ln(1+e^{2x})}=e^{4x}

e, una volta semplificati tra loro l'esponenziale e il logaritmo, scrivere

1+e^{2x}=e^{4x}

In buona sostanza ci siamo ricondotti a un'equazione esponenziale risolvibile agilmente operando la sostituzione

t=e^{2x} \ \ \ \to \ \ \ t^2=e^{4x}

grazie alla quale diventa

1+t=t^2 \ \ \ \to \ \ \ t^2-t-1=0

Essa è chiaramente un'equazione di secondo grado nell'incognita t le cui soluzioni si ricavano con la formula del delta.

\\ t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2}=\\ \\ \\ = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}=\begin{cases}\frac{1-\sqrt{5}}{2}=t_1\\ \\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}=t_2\end{cases}

Le soluzioni dell'equazione di secondo grado in t sono quindi

t=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \ \ \ , \ \ \ t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

e ci serviranno per calcolare le soluzioni dell'equazione iniziale. Poiché abbiamo posto t=e^{2x}, la relazione

t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

si tramuta nell'equazione esponenziale

e^{2x}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}

che però non ammette soluzioni... perché? L'esponenziale al primo membro è certamente positivo, mentre il numero reale al secondo membro è negativo: poiché i membri hanno segno opposto, non esiste alcuna x che realizza l'uguaglianza.

Più interessante è invece la relazione

t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

si tramuta in

e^{2x}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

Risolviamola applicando a destra e a sinistra il logaritmo naturale

2x=\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)

e dividendo i due membri per 2

x=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)

Il valore ottenuto è l'unica soluzione di

\ln(1+e^{2x})-4x=0

Abbiamo finito.
Ringraziano: ermagnus95
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Os