Equazione letterale di grado 1 fratta con 1 parametro

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Equazione letterale di grado 1 fratta con 1 parametro #58282

avt
dylan94
Punto
Potreste aiutarmi a risolvere il seguente problema sulle equazioni parametriche fratte di primo grado? Ho tentato di risolverlo da solo, ma purtroppo non riesco a ottenere i risultati proposti.

Discutere la seguente equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{1}{ax+a}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}=0

al variare del parametro reale a.
 
 

Equazione letterale di grado 1 fratta con 1 parametro #58291

avt
Pi Greco
Kraken
Il nostro compito consiste nel discutere l'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{1}{ax+a}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x^2-1}=0

al variare del parametro reale a. Per prima cosa scomponiamo i denominatori avvalendoci dei prodotti notevoli. Più precisamente possiamo scomporre la differenza di quadrati x^2-1 e il polinomio ax+a raccogliendo il fattore comune a

\frac{1}{a(x+1)}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)(x+1)}=0

Ora possiamo impostare le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita e il parametro siano diversi da zero. Iniziamo dal primo

a(x+1)\ne 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se sono diversi da zero entrambi i fattori:

a\ne 0 \ \wedge \ x+1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -1

Il secondo denominatore è praticamente immediato

x-1\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne 1

Per quanto concerne il terzo denominatore, interviene nuovamente la legge di annullamento del prodotto:

(x-1)(x+1)\ne 0 \ \ \to \ \ x-1 \ne 0 \ \wedge \ x+1\ \ne 0

da cui

x\ne -1 \ \wedge \ x\ne +1

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

Abbiamo così ottenuto le condizioni di esistenza associate:

C.E.:a\ne 0 \ \wedge \ x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1

Consideriamo in particolare la C.E. relativa al parametro (a\ne 0) e chiediamoci cosa succede se non viene rispettata. Se a fosse uguale a zero, il denominatore a(x+1) diventerebbe nullo, di conseguenza l'intera equazione perderebbe di significato giacché non è possibile dividere per zero.

Per a\ne 0, possiamo procedere tranquillamente con la risoluzione: esprimiamo in forma normale calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore.

\frac{x-1+a(x+1)+a}{a(x-1)(x+1)}=0

Sotto le condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore, ricavando così un'equazione letterale intera di primo grado

x-1+a(x+1)+a=0

Esplicitiamo i calcoli

x-1+ax+a+a=0 \ \ \to \ \ (a+1)x+2a-1=0

Trasportiamo al secondo membro i termini senza l'incognita

(a+1)x=1-2a

e iniziamo la discussione. Se il coefficiente di x fosse nullo, ossia se

a+1=0 \ \ \to \ \ a=-1

l'equazione diventerebbe

0\cdot x =1-2\cdot (-1) \ \ \to \ \ 0=3

che è chiaramente un'equazione impossibile, dunque l'insieme soluzione è vuoto.

Se a\ne -1, e sotto il vincolo a\ne 0, possiamo dividere i due membri dell'equazione per a+1, ricavando così

x=\frac{1-2a}{a+1}

Attenzione, dobbiamo richiedere che le soluzioni ottenute siano diverse da -1 e da 1, per via delle condizioni di esistenza:

x\ne -1 \ \wedge \ x\ne 1

Da x\ne -1 segue la relazione

\\ \frac{1-2a}{a+1}\ne -1 \\ \\ \\ \frac{1-2a}{a+1}+1\ne 0 \\ \\ \\ \frac{1-2a+a+1}{a+1}\ne 0

pertanto

-a+2\ne 0 \ \ \to \ \ -a\ne -2 \ \ \to \ \ a\ne 2

Sottolineiamo che se a=2, l'equazione è impossibile perché le soluzioni corrispondenti non sono accettabili: otterremmo x=-1 che viola la C.E.

Dalla disuguaglianza

x\ne 1 segue invece

\\ \frac{1-2a}{a+1}\ne 1 \\ \\ \\ \frac{1-2a}{a+1}-1\ne 0 \\ \\ \\ \frac{1-2a-a-1}{a+1}\ne 0

da cui

-3a\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 0

Notiamo che a\ne 0 è una condizione già imposta nelle C.E..

In definitiva, possiamo concludere che:

- se a=0, l'equazione perde di significato;

- se a=-1 \ \vee \ a=2, l'equazione è impossibile e l'insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto;

- se a\ne 0 \ \wedge \ a\ne -1 \ \wedge \ a\ne 2, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione

x=\frac{1-2a}{1+a}

Abbiamo finito!
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Os