Equazione letterale di grado 1 fratta con 1 parametro

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#58282
avt
dylan94
Punto

Potreste aiutarmi a risolvere il seguente problema sulle equazioni parametriche fratte di primo grado? Ho tentato di risolverlo da solo, ma purtroppo non riesco a ottenere i risultati proposti.

Discutere la seguente equazione parametrica fratta di primo grado

(1)/(ax+a)+(1)/(x−1)+(1)/(x^2−1) = 0

al variare del parametro reale a.

#58291
avt
Pi Greco
Kraken

Il nostro compito consiste nel discutere l'equazione parametrica fratta di primo grado

(1)/(ax+a)+(1)/(x−1)+(1)/(x^2−1) = 0

al variare del parametro reale a. Per prima cosa scomponiamo i denominatori avvalendoci dei prodotti notevoli. Più precisamente possiamo scomporre la differenza di quadrati x^2−1 e il polinomio ax+a raccogliendo il fattore comune a

(1)/(a(x+1))+(1)/(x−1)+(1)/((x−1)(x+1)) = 0

Ora possiamo impostare le condizioni di esistenza richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita e il parametro siano diversi da zero. Iniziamo dal primo

a(x+1) ne 0

In virtù della legge di annullamento del prodotto, il prodotto al primo membro è diverso da zero se e solo se sono diversi da zero entrambi i fattori:

a ne 0 ∧ x+1 ne 0 → x ne−1

Il secondo denominatore è praticamente immediato

x−1 ne 0 → x ne 1

Per quanto concerne il terzo denominatore, interviene nuovamente la legge di annullamento del prodotto:

(x−1)(x+1) ne 0 → x−1 ne 0 ∧ x+1 ne 0

da cui

x ne−1 ∧ x ne+1

dove ∧ indica il connettivo logico "e".

Abbiamo così ottenuto le condizioni di esistenza associate:

C.E.:a ne 0 ∧ x ne−1 ∧ x ne 1

Consideriamo in particolare la C.E. relativa al parametro (a ne 0) e chiediamoci cosa succede se non viene rispettata. Se a fosse uguale a zero, il denominatore a(x+1) diventerebbe nullo, di conseguenza l'intera equazione perderebbe di significato giacché non è possibile dividere per zero.

Per a ne 0, possiamo procedere tranquillamente con la risoluzione: esprimiamo in forma normale calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore.

(x−1+a(x+1)+a)/(a(x−1)(x+1)) = 0

Sotto le condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore, ricavando così un'equazione letterale intera di primo grado

x−1+a(x+1)+a = 0

Esplicitiamo i calcoli

x−1+ax+a+a = 0 → (a+1)x+2a−1 = 0

Trasportiamo al secondo membro i termini senza l'incognita

(a+1)x = 1−2a

e iniziamo la discussione. Se il coefficiente di x fosse nullo, ossia se

a+1 = 0 → a = −1

l'equazione diventerebbe

0·x = 1−2·(−1) → 0 = 3

che è chiaramente un'equazione impossibile, dunque l'insieme soluzione è vuoto.

Se a ne−1, e sotto il vincolo a ne 0, possiamo dividere i due membri dell'equazione per a+1, ricavando così

x = (1−2a)/(a+1)

Attenzione, dobbiamo richiedere che le soluzioni ottenute siano diverse da -1 e da 1, per via delle condizioni di esistenza:

x ne−1 ∧ x ne 1

Da x ne−1 segue la relazione

(1−2a)/(a+1) ne−1 ; (1−2a)/(a+1)+1 ne 0 ; (1−2a+a+1)/(a+1) ne 0

pertanto

−a+2 ne 0 → −a ne−2 → a ne 2

Sottolineiamo che se a = 2, l'equazione è impossibile perché le soluzioni corrispondenti non sono accettabili: otterremmo x = −1 che viola la C.E.

Dalla disuguaglianza

x ne 1 segue invece

(1−2a)/(a+1) ne 1 ; (1−2a)/(a+1)−1 ne 0 ; (1−2a−a−1)/(a+1) ne 0

da cui

−3a ne 0 → a ne 0

Notiamo che a ne 0 è una condizione già imposta nelle C.E..

In definitiva, possiamo concludere che:

- se a = 0, l'equazione perde di significato;

- se a = −1 ∨ a = 2, l'equazione è impossibile e l'insieme delle soluzioni coincide con l'insieme vuoto;

- se a ne 0 ∧ a ne−1 ∧ a ne 2, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione

x = (1−2a)/(1+a)

Abbiamo finito!

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