Equazione mista logaritmica e trigonometrica

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Equazione mista logaritmica e trigonometrica #58206

avt
AlePi
Punto
Oggi il mio professore ha proposto una sfida davvero interessante: ci ha chiesto di risolvere un'equazione logaritmica a base variabile in cui compaiono seni e coseni. Io ho abbozzato una possibile soluzione, però credi di essermi perso nei calcoli.

Risolvere la seguente equazione con logaritmi a basi variabili

\log_{\cos(x)}(\sin(x))=\log_{\sin(x)}(\cos(x))

Grazie.
 
 

Equazione mista logaritmica e trigonometrica #58273

avt
Omega
Amministratore
Prima di poter calcolare le soluzioni dell'equazione logaritmica

\log_{\cos(x)}(\sin(x))=\log_{\sin(x)}(\cos(x))

bisogna innanzitutto imporre le condizioni di esistenza: occorre prestare la massima attenzione perché l'incognita si manifesta anche alla base dei logaritmi.

Affinché l'equazione abbia senso, dobbiamo richiedere che:

- gli argomenti dei logaritmi siano maggiori di zero;

- le basi dei logaritmi siano maggiori di zero e diversi da 1.

Con questi vincoli costruiamo il sistema di disequazioni

\begin{cases}\sin(x)>0\\ \sin(x)\ne 1\\ \cos(x)>0 \\ \cos(x)\ne 1\end{cases}

soddisfatto se x sottostà al vincolo

C.E.: \ 2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k è un numero intero.

Una volta determinato l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo procedere con i passaggi algebrici che permetteranno di esprimere l'equazione

\log_{\cos(x)}(\sin(x))=\log_{\sin(x)}(\cos(x))

in forma normale. Proprio perché le basi dei due logaritmi dipende da x, conviene sfruttare la formula del cambiamento di base

\log_{a}(b)=\frac{\log_{c}(b)}{\log_{c}(a)}

con a>0\ \mbox{e} \ a\ne 1,\ b>0, \ c>0\ \mbox{e} \ c\ne 1.

La scelta della base è del tutto arbitraria e non modificherà l'insieme delle soluzioni dell'equazione: scegliamo di passare ai logaritmi naturali

\\ \log_{\cos(x)}(\sin(x))=\frac{\ln(\sin(x))}{\ln(\cos(x))}\\ \\ \\ \log_{\sin(x)}(\cos(x))=\frac{\ln(\cos(x))}{\ln(\sin(x))}

così che l'equazione diventi

\frac{\ln(\sin(x))}{\ln(\cos(x))}=\frac{\ln(\cos(x))}{\ln(\sin(x))}

Moltiplichiamo a croce

\ln^2(\sin(x))=\ln^2(\cos(x))

e trasportiamo tutti i termini a sinistra

\ln^2(\sin(x))-\ln^2(\cos(x))=0

Scomponiamo a questo punto la differenza di quadrati

(\ln(\sin(x))-\ln(\cos(x)))(\ln(\sin(x))+\ln(\cos(x)))=0

e avvaliamoci della legge di annullamento del prodotto, grazie alla quale ricaviamo le seguenti equazioni

\\ \ln(\sin(x))-\ln(\cos(x))=0 \\ \\  \mbox{oppure} \\ \\ \ln(\sin(x))+\ln(\sin(x))=0

Occupiamoci della prima

\ln(\sin(x))-\ln(\cos(x))=0

Per risolverla isoliamo \ln(\sin(x)) al primo membro, in questo modo ci riconduciamo alla forma normale:

\ln(\sin(x))=\ln(\cos(x))

Ricordando che due logaritmi con la stessa base sono uguali se e solo se hanno lo stesso argomento, scriviamo l'equazione risolvente

\sin(x)=\cos(x)

Ci siamo ricondotti a un'equazione goniometrica che possiamo risolvere agilmente dividendo i due membri per \cos(x) - è opportuno sottolineare che le condizioni di esistenza garantiscono la non nullità del coseno.

\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=\frac{\cos(x)}{\cos(x)}

Semplificando in modo opportuno e sfruttando la definizione di tangente, ricaviamo:

\tan(x)=1

soddisfatta se e solo se

x=\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Attenzione! Non tutti i valori della famiglia sono effettivamente soluzione dell'equazione iniziale. Notiamo infatti che

\log_{\cos(x)}(\sin(x))=\log_{\sin(x)}(\cos(x))

ha senso esclusivamente nel momento in cui l'angolo giace nel primo quadrante, conseguentemente le soluzioni accettabili sono

x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Al variare di k nei numeri interi, infatti, gli angoli \frac{\pi}{4}+2k\pi rispettano le condizioni di esistenza.
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