Esercizio equazione con logaritmi, seno e coseno

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Esercizio equazione con logaritmi, seno e coseno #58203

avt
Manila
Membro onorario dello Staff
Non ho avuto grosse difficoltà nel risolvere le equazioni logaritmiche semplici, però ora me ne è capitata una in cui compaiono seni e coseni. Purtroppo non capisco quali possano essere i passaggi che consentano di esprimerla in una forma "docile", ecco perché richiedo il vostro intervento.

Risolvere la seguente equazione con i logaritmi, seno e coseno:

\log_{2}(\cos(2x))-\log_{2}(\sin(x))-\log_{2}(\cos(x))=1

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Hesse, Galois, matdom
 
 

Esercizio equazione con logaritmi, seno e coseno #58275

avt
Omega
Amministratore
L'equazione

\log_{2}(\cos(2x))-\log_{2}(\sin(x))-\log_{2}(\cos(x))=1

presenta un alto livello di difficoltà per via della presenza di logaritmi e delle funzioni goniometriche. Chiaramente, affinché l'equazione logaritmica sia ben posta, dobbiamo pretendere che gli argomenti dei logaritmi siano contemporaneamente maggiori di zero (rappresentano le condizioni di esistenza per i logaritmi). Dal punto di vista algebrico, x deve soddisfare il sistema di disequazioni

\begin{cases}\cos(2x)>0\\ \\ \sin(x)>0\\ \\ \cos(x)>0\end{cases}

Esso è formato da disequazioni goniometriche elementari in seno e coseno che possiamo risolvere una per volta e determinare infine l'intersezione dei loro insiemi soluzione.

\cos(2x)>0

Ricordiamo che il coseno di un angolo è positivo se l'angolo è compreso tra:

-\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ , \ \ \ \frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{R}

richiediamo quindi che venga soddisfatta la doppia disequazione

-\frac{\pi}{2}+2k\pi<2x<\frac{\pi}{2}+2k\pi

da cui dividendo i tre membri per due

-\frac{\pi}{4}+k\pi<x<\frac{\pi}{4}+k\pi \ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

Risolviamo la disequazione in seno

\sin(x)>0

tenendo a mente che il seno di un angolo è positivo se l'angolo è compreso tra:

2k\pi \ \ \ \mbox{e} \ \ \ (2k+1)\pi \ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

dunque la disequazione è soddisfatta se x soddisfa la doppia disequazione

2k\pi<x<(2k+1)\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

L'ultima relazione del sistema, ossia

\cos(x)>0

è verificata nel momento in cui

-\frac{\pi}{2}+2k\pi<x<\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Intersecando i tre insiemi delle soluzioni, ricaviamo l'insieme su cui l'equazione iniziale è ben posta:

C.E.: \ 2k\pi<x<\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \mbox{con}\ k\in\mathbb{Z}

Ora che è noto l'insieme di esistenza delle soluzioni, possiamo applicare le proprietà dei logaritmi per semplificare l'espressione dell'equazione.

Partiamo da

\log_{2}(\cos(2x))-\log_{2}(\sin(x))-\log_{2}(\cos(x))=1

isoliamo \log_{2}(\cos(2x)) al primo membro

\log_{2}(\cos(2x))=1+\log_{2}(\sin(x))+\log_{2}(\cos(x))

e scriviamo inoltre 1 come \log_{2}(2)

\log_{2}(\cos(2x))=\log_{2}(2)+\log_{2}(\sin(x))+\log_{2}(\cos(x))

In virtù della proprietà sulla somma di logaritmi con la stessa base, siamo autorizzati a esprimere il secondo membro come il logaritmo dei prodotti degli argomenti

\log_{2}(\cos(2x))=\log_{2}(2\sin(x)\cos(x))

I due membri dell'equazione sono logaritmi con la stessa base e sono uguali se e solo se coincidono i loro argomenti, vale a dire:

\cos(2x)=2\sin(x)\cos(x)

Analizziamo questa equazione goniometrica per la quale esistono diverse strategie risolutive: la più comoda consiste nell'utilizzare la formula di duplicazione de seno

2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x) \ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

grazie alla quale l'equazione diventa

\cos(2x)=\sin(2x)

Osserviamo che se \cos(2x)=0, la relazione fondamentale della trigonometria garantisce che

\sin(2x)=-1\ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \sin(2x)=1

pertanto i valori di x che annullano \cos(2x) non possono essere soluzioni dell'equazione (ricaveremmo infatti 0=-1 o ancora 0=1).

Per \cos(2x)\ne 0, possiamo dividere i due membri per \cos(2x)

\frac{\cos(2x)}{\cos(2x)}=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \ \ \ \to \ \ \ 1=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}

e una volta sfruttata la definizione di tangente, l'equazione diventa

1=\tan(2x)\ \ \ \to \ \ \ \tan(2x)=1

La tangente di un angolo è pari a 1 se l'angolo è uguale a \frac{\pi}{4} a meno di multipli interi di \pi, ossia se

2x=\frac{\pi}{4}+h\pi \ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

da cui

x=\frac{\pi}{8}+\frac{h\pi}{2}\ \ \ \mbox{con} \ h\in\mathbb{Z}

Attenzione! Non tutti i valori della famiglia sono effettivamente soluzioni dell'equazione data. Aiutandoci con la circonferenza goniometrica, deduciamo infatti che sono soluzioni esclusivamente gli angoli di ampiezza compresa tra 0 e \frac{\pi}{4} (a meno di multipli di 2\pi), vale a dire

x=\frac{\pi}{8}+2k\pi

dove k è un numero intero.
Ringraziano: Manila
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Os