Equazione con seno, coseno e radice di x

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Equazione con seno, coseno e radice di x #58196

avt
hacknowledge
Punto
Riscontro moltissime difficoltà nel risolvere un'equazione goniometrica in seno e coseno negli argomenti dei quali compaiono radici quadrate. Evidentemente va risolta per sostituzione, però non mi ritorna la soluzione del libro.

Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica

\sin(\pi\sqrt{x})+\cos(\pi\sqrt{x})=1

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, frank094, Ifrit, Hesse, matdom
 
 

Equazione con seno, coseno e radice di x #58200

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'equazione goniometrica

\sin(\pi\sqrt{x})+\cos(\pi\sqrt{x})=1

è alquanto peculiare perché negli argomenti di seno e coseno compare una radice quadrata, a causa della quale dovremo imporre le dovute condizioni di esistenza. Affinché l'equazione abbia senso, dobbiamo infatti richiedere che il radicando sia maggiore o al più uguale a zero, ossia

C.E.:\ x\ge 0

Sia chiaro: escluderemo tutti i valori che non rispettano questo vincolo.

Per poter risolvere agevolmente l'equazione, operiamo la sostituzione

t=\pi\sqrt{x}

mediante la quale ci riconduciamo all'equazione lineare in seno e coseno

\sin(t)+\cos(t)=1

Esistono diverse strategie risolutive per questo tipo di equazioni: il metodo delle formule parametriche, il metodo grafico o ancora il metodo dell'angolo aggiunto che è quello che useremo in questo caso.

Si tratta di determinare un numero reale positivo R e il cosiddetto angolo aggiunto \phi\in[0,2\pi) che consentono di esprimere

\sin(t)+\cos(t)

in termini di solo seno.

Indicati con a\ \mbox{e} \ b rispettivamente il coefficiente del seno e quello de coseno

a=1 \ \ \ , \ \ \ b=1

il numero reale R si ricava mediante la formula

R=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}

Per quanto concerne l'angolo aggiunto \phi, esso è l'unico angolo di [0,2\pi) che soddisfa il sistema di equazioni

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{b}{R}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{a}{R}\end{cases}\ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

Dal sistema si ricava facilmente che l'angolo vale \phi=\frac{\pi}{4}, di conseguenza

\sin(t)+\cos(t)=\sqrt{2}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right) \ \ \ \forall t\in\mathbb{R}

pertanto possiamo riscrivere l'equazione in t nella forma

\sqrt{2}\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=1\ \ \ \to \ \ \ \sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

]Ricordando la tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, il seno di un angolo è pari a \frac{1}{\sqrt{2}} nel momento in cui l'angolo vale

\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \ \ \vee \ \ \ \frac{3\pi}{4}+2k\pi

dove k è un numero intero. Queste considerazioni ci autorizzano a scrivere le equazioni

\\ t+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ t+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi

Analizziamole separatamente partendo dalla prima:

t+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi\ \ \ \to \ \ \ t=2k\pi

Per quanto concerne la seconda

t+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\ \ \ \to \ \ \ t=\frac{\pi}{2}+2k\pi

In buona sostanza, l'equazione

\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

ammette due famiglie di soluzioni:

t=2k\pi \ \ \ , \ \ \  t=\frac{\pi}{2}+2k\pi

dove k è un numero intero. Non abbiamo ancora finito: dobbiamo ritornare nell'incognita x! Poiché t=\pi\sqrt{x} la relazione t=2k\pi si traduce nell'equazione irrazionale

\pi\sqrt{x}=2k\pi\ \ \ \to \ \ \ \sqrt{x}=2k

cui associamo il sistema formato da tre relazioni: la prima è la condizione di esistenza, la seconda non è altro che la condizione di concordanza (il primo e il secondo membro devono avere il medesimo segno) e la terza è l'equazione che si ottiene elevando al quadrato i due membri

\begin{cases}x\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ge 0\\ \\ 2k\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge 0 \\ \\ x=(2k)^2\ \ \ \to \ \ \ x=4k^2\end{cases}

da cui ricaviamo la famiglia di soluzioni

x=4k^2

dove k è un qualsiasi numero intero non negativo.

La relazione

t=\frac{\pi}{2}+2k\pi

si tramuta invece in

\pi\sqrt{x}=\frac{\pi}{2}+2k\pi\ \ \ \to \ \ \ \sqrt{x}=\frac{1}{2}+2k

Procediamo in maniera standard, associando all'equazione irrazionale il sistema risolvente

\begin{cases}x\ge 0\ \ \ \to \ \ \ x\ge 0 \\ \\ \dfrac{1}{2}+2k\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ k\ge -\dfrac{1}{4} \\ \\ x=\left(\dfrac{1}{2}+2k\right)^2 \ \ \ \to \ \ \ x=4k^2+2k+\dfrac{1}{4}\end{cases}

dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplicemente sviluppato il quadrato di binomio.

Osservazione: poiché k è un numero intero, la condizione k\ge -\frac{1}{4} individua esclusivamente numeri interi non negativi, ed è quindi equivalente a k\ge 0.

Tiriamo le somme per concludere che

\sin(\pi\sqrt{x})+\cos(\pi\sqrt{x})=1

è soddisfatta da due famiglie di soluzioni

x=4k^2 \ \ \ , \ \ \ x=4k^2+2k+\frac{1}{4}

con k numero intero non negativo.
Ringraziano: hacknowledge
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Os