Equazione mista irrazionale e trigonometrica

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Equazione mista irrazionale e trigonometrica #58189

avt
ermagnus95
Frattale
Mi è capitata un'equazione con seno, coseno e radice quadrata. Sinceramente non capisco come trattarla perché non rientra nelle casistiche note, per questo chiedo il vostro aiuto

Risolvere la seguente equazione

\sqrt{1-\sin(x)}=\cos(x)

Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit
 
 

Equazione mista irrazionale e trigonometrica #58201

avt
Ifrit
Amministratore
Il nostro compito consiste nel determinare le soluzioni dell'equazione

\sqrt{1-\sin(x)}=\cos(x)

che a conti fatti possiamo rivedere come un'equazione irrazionale a indice pari. Affinché sia ben posta dobbiamo richiedere che il radicando sia positivo o al più nullo (è la condizione di esistenza della radice), inoltre va imposta la cosiddetta condizione di concordanza: poiché il primo membro è certamente positivo o nullo, anche il secondo deve esserlo.

Sotto la condizione di esistenza e quella di concordanza, siamo autorizzati a elevare i due membri al quadrato così che la radice quadrata sparisca.

Dal punto di vista algebrico, l'equazione data equivale al sistema di disequazioni

\begin{cases}1-\sin(x)\ge 0 & \mbox{C.E.} \\ \\ \cos(x)\ge 0 & \mbox{C.C.} \\ \\ 1-\sin(x)=\cos^2(x)\end{cases}

che analizzeremo una per volta. Partiamo dalla disequazione goniometrica

1-\sin(x)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)\le 1

la quale è chiaramente soddisfatta per ogni x\in\mathbb{R} questo perché la funzione seno è certamente minore o al più uguale a 1, qualunque sia il valore assunto dal suo argomento.

Analizziamo la seconda relazione del sistema, ossia la disequazione con il coseno

\cos(x)\ge 0 \ \ \ \to \ \ \ -\frac{\pi}{2}+2k\pi\le x\le \frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Ora occupiamoci dell'equazione trigonometrica di secondo grado

1-\sin(x)=\cos^2(x)

Per poterla risolvere, utilizziamo la relazione fondamentale della goniometria

\sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

mediante la quale possiamo esprimere il quadrato del coseno in termini di seno, infatti:

\cos^2(x)=1-\sin^2(x)\ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

Grazie all'ultima uguaglianza, l'equazione diventa

1-\sin(x)=1-\sin^2(x)

da cui

\sin^2(x)-\sin(x)=0

Raccogliamo \sin(x)

\sin(x)(\sin(x)-1)=0

e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, con cui ci riconduciamo a due equazioni di facile risoluzione

\sin(x)=0 \ \ \ , \ \ \ \sin(x)-1=0

Se \sin(x)=0, dalla relazione fondamentale segue che \cos^2(x)=1, ossia

\cos(x)=-1\ \ \ \vee \ \ \ \cos(x)=1

È importante sottolineare che tutte le x che soddisfano l'equazione \cos(x)=-1 sono da escludere perché violano la condizione di concordanza: il coseno dev'essere positivo o al più nullo.

Le soluzioni che invece scaturiscono dalla relazione \cos(x)=1 sono accettabili, perché soddisfano la condizione di esistenza, quella di concordanza e l'equazione finale.

\cos(x)=1 \ \ \ \to \ \ \  x=2k\pi

dove k è un numero intero rappresenta la prima famiglia di soluzioni.

Se \sin(x)=1 allora \cos(x)=0 e sia la condizione di esistenza, sia quella di concordanza sono soddisfatte! Ergo i valori che soddisfano l'equazione in seno, ossia:

\sin(x)=1\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

costituiscono la seconda famiglia di soluzioni dell'equazione.

In conclusione l'equazione

\sqrt{1-\sin(x)}=\cos(x)

è soddisfatta da due famiglie di soluzioni

x=2k\pi \ \ \ , \  \ \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

L'esercizio è terminato.
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