Esercizio equazione con coseno e argomento fratto

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Esercizio equazione con coseno e argomento fratto #58157

avt
Hesse
Cerchio
Dovrei risolvere un'equazione goniometrica molto semplice all'apparenza, ma che dopo alcuni semplici passaggi si tramuta in un'equazione parametrica fratta di primo grado. Ho tentato di risolverla, ma è fuori dalla mia portata.

Calcolare le soluzioni dell'equazione trigonometrica

\cos\left(\pi\cdot\frac{x}{x+1}\right)=0

Come si fa? Grazie.
Ringraziano: Omega, Pi Greco, LittleMar, Manuel1990, matdom
 
 

Esercizio equazione con coseno e argomento fratto #58158

avt
Pi Greco
Kraken
Il nostro obiettivo consiste nel risolvere l'equazione goniometrica

\cos\left(\pi\cdot\frac{x}{x+1}\right)=0

che può essere tranquillamente riconducibile a un'equazione elementare in coseno, usando un'opportuna sostituzione. Prima di procedere, è necessario imporre le dovute condizioni di esistenza: osserviamo infatti che l'incognita compare al denominatore dell'argomento del coseno.

Richiediamo quindi che sussista la condizione

C.E.:\ x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

Fatto ciò, possiamo risolvere l'equazione operando la sostituzione

t=\pi\cdot\frac{x}{x+1}\ \ \ \mbox{con} \ x\ne -1

mediante la quale, la relazione iniziale diventa

\cos(t)=0 \ \ \ \to \ \ \ t=\frac{\pi}{2}+k\pi

dove k è un numero intero qualsiasi.

Non ci resta che ripristinare l'incognita x: poiché avevamo imposto t=\pi\cdot \frac{x}{x+1}, la relazione

t=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

diventa

\pi\cdot\frac{x}{x+1}=\frac{\pi}{2}+k\pi

Essa è chiaramente un'equazione parametrica di primo grado fratta. Procediamo con la risoluzione dividendo a destra e a sinistra per \pi

\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}+k

Trasportiamo tutto a sinistra

\frac{x}{x+1}-\frac{1}{2}-k=0

e calcoliamo il denominatore comune

\frac{2x-x-1-2k(x+1)}{2(x+1)}=0

Per x\ne -1, possiamo cancellare il denominatore e discutere le soluzioni dell'equazione

x-1-2kx-2k=0 \ \ \ \to \ \ \ (1-2k)x=1+2k

al variare del parametro intero k.

Se il coefficiente di x è uguale a zero, ossia se

1-2k= 0 \ \ \ \to \ \ \ k=\frac{1}{2}

l'equazione si riduce a un'uguaglianza impossibile, infatti:

0\cdot x=1+2\cdot\frac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ \ 0=2

Se k\ne\frac{1}{2}, possiamo dividere i due membri per 1-2k e ricavare i valori

x=\frac{1+2k}{1-2k}\ \ \ \forall k\in\mathbb{Z}

Attenzione! È possibile che esista un numero intero k che renda il rapporto \frac{1+2k}{1-2k} pari a -1, rendendo così la soluzione non accettabile perché viola la condizione di esistenza: se esiste, tale valore va assolutamente escluso.

Consideriamo quindi l'equazione fratta nell'incognita intera k

\frac{1+2k}{1-2k}=-1

e risolviamola moltiplicando i due membri per 1-2k

1+2k=-1+2k \ \ \ \to \ \ \ 1=-1

Deduciamo che non esiste alcun intero k che realizza l'uguaglianza

\frac{1+2k}{1-2k}=-1

di conseguenza

x=\frac{1+2k}{1-2k}

è soluzione dell'equazione iniziale indipendentemente dal valore assunto da k.
Ringraziano: Omega, Hesse, Galois, Manuel1990
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