Risoluzione equazione letterale fratta di primo grado

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Risoluzione equazione letterale fratta di primo grado #58102

avt
stefano 301293
Punto
Mi è capitato un esercizio sulle equazioni letterali fratte a un parametro che non so come risolvere. Nel risultato ci sono dei casi che non so da dove saltino fuori.

Risolvere la seguente equazione letterale fratta nell'incognita x al variare del parametro a

\frac{1-2a}{x}+\frac{a-2}{x}=\frac{2(a+1)}{a-1}

Grazie.
 
 

Risoluzione equazione letterale fratta di primo grado #58119

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{1-2a}{x}+\frac{a-2}{x}=\frac{2(a+1)}{a-1}

Per prima cosa impostiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita oppure il parametro a siano diversi da zero:

\\ x\ne 0 \\ \\ a-1\ne 0 \  \ \to \ \ a\ne 1

Le condizioni di esistenza sono dunque

C.E. : x\ne 0 \ \wedge \ a\ne 1

Osserviamo sin da subito che se a fosse uguale a 1, il denominatore a-1 sarebbe nullo, pertanto l'equazione perderebbe di significato giacché non è possibile dividere per zero.

Per a\ne 1, scriviamo l'equazione in forma normale, portando tutti i termini al primo membro

\frac{1-2a}{x}+\frac{a-2}{x}-\frac{2(a+1)}{a-1}=0

e calcolando il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore

\frac{(1-2a)(a-1)+(a-2)(a-1)-2(a+1)x}{x(a-1)}=0

Sotto i vincoli dettati dal C.E., possiamo cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente

(1-2a)(a-1)+(a-2)(a-1)-2(a+1)x=0

Eseguiamo i calcoli

a-1-2a^2+2a+a^2-a-2a+2-2ax-2x=0

e sommiamo tra loro i termini simili, ottenendo:

-2(1+a)x+1-a^2=0

A questo punto trasportiamo i termini senza l'incognita x al secondo membro

-2(1+a)x=a^2-1

e in seguito cambiamo i segni

2(1+a)x=1-a^2

Notiamo che al secondo membro si manifesta una differenza di quadrati che scomposta consente di esprimere l'equazione come

2(1+a)x=(1-a)(1+a)

Iniziamo con la discussione che dipenderà dalla nullità o meno del coefficiente di x.

Se 2(1+a)=0, vale a dire se a=-1, l'equazione diventa

2(1+(-1))x=(1-(-1))(1+(-1)) \ \ \to \ \ 0=0

otteniamo cioè un'identità condizionata dal vincolo x\ne 0.

Se 2(1+a)\ne 0, ossia se a\ne -1, siamo autorizzati a dividere i due membri dell'equazione per 2(1+a), ricavando così

x=\frac{(1-a)(1+a)}{2(1+a)} \ \ \to \ \ x=\frac{1-a}{2}

La condizione di esistenza x\ne 0 ci avvertono che la soluzione appena trovata non può essere uguale a zero, pertanto dobbiamo richiedere che:

x\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{1-a}{2}\ne 0 \ \ \to \ \ 1-a\ne 0 \ \ \to \ \ a\ne 1

Se il parametro a fosse uguale a 1, la soluzione coinciderebbe con x=0, che però viola la condizione di esistenza x\ne 0, ecco perché è da escludere. Sottolineiamo inoltre che a=1 è già esclusa dalle condizioni di esistenza (a\ne 1).

Traiamo le conclusioni:

- se a=1, l'equazione perde di significato;

- se a=-1, l'equazione è un'identità condizionata dal vincolo x\ne 0 e il suo insieme delle soluzioni è \forall x\ne 0;

- se a\ne -1 \ \wedge \ a\ne 1, l'equazione è determinata e ammette come unica soluzione

x=\frac{1-a}{2}

Ecco fatto!
Ringraziano: stefano 301293
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Os