Divisione tra due polinomi con la regola di Ruffini

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Divisione tra due polinomi con la regola di Ruffini #58092

avt
FAQ
Punto
Ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un esercizio sulla divisione di polinomi con la regola di Ruffini nel quale il dividendo non è né ordinato né completo. Cosa bisogna fare in questo caso?

Svolgere la seguente divisione con la regola di Ruffini

(-x^4+5x^2+1-x):(1+x)

Grazie.
 
 

Divisione tra due polinomi con la regola di Ruffini #58360

avt
Ifrit
Ambasciatore
Per poter svolgere la divisione polinomiale

(-x^4+5x^2+1-x):(1+x)

con la regola di Ruffini, bisogna innanzitutto assicurarsi che il dividendo e il divisore siano polinomi ordinati secondo le potenze decrescenti rispetto all'indeterminata. Poiché i polinomi in esame non sono ordinati, sarà nostra premura esprimerli nella forma richiesta

N(x)=-x^4+5x^2-x+1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ D(x)=x+1

Nel divisore devono inoltre comparire tutte le potenze dell'incognita, in caso contrario inseriamo gli opportuni zeri segnaposto così da ricavare la forma completa:

N(x)=-x^4+0x^3+5x^2-x+1

Infine, ma non meno importante, è bene ricordare che la regola di Ruffini può essere applicata se e solo se il divisore è un binomio di primo grado con coefficiente direttivo (o coefficiente del termine di grado massimo) pari a 1. In altre parole, il divisore deve presentarsi nella forma

D(x)=x-c

dove c è un numero qualsiasi.

Ricapitolando, la divisione da svolgere con la regola di Ruffini è:

(-x^4+0x^3+5x^2-x+1):(x+1)

Riportiamo i coefficienti del dividendo uno di seguito all'altro e tracciamo una linea verticale prima del coefficiente di x^4 e un'altra subito prima del termine noto. Disegniamo inoltre una linea orizzontale che taglia quelle verticali.

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ &&&&&&&&\\  \hline &&&&&&&&\end{array}

Il primo elemento della seconda riga è l'opposto del termine noto di x+1

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ -1&&&&&&&&\\  \hline &&&&&&&&\end{array}

Ora la tabella è pronta per essere riempita. Trasportiamo il coefficiente di x^4, ossia -1, al di sotto della linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ -1&&&&&&&&\\  \hline &-1&&&&&&&\end{array}

e moltiplichiamolo per l'opposto del termine noto del divisore, incolonnando il risultato sotto lo zero (coefficiente di x^3)

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ -1&&&1&&&&&\\  \hline &-1&&&&&&&\end{array}

Addizioniamo 0 e 1 e riportiamo la somma sotto la linea orizzontale

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ -1&&&1&&&&&\\  \hline &-1&&1&&&&&\end{array}

Seguiamo lo stesso ragionamento fino al completamento della tabella: moltiplichiamo -1 e 1, riportiamo il prodotto sotto il numero 5 e sommiamo.

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ -1&&&1&&-1&&&\\  \hline &-1&&1&&4&&&\end{array}

Ancora altri due giri di giostra: moltiplichiamo -1 e 4, riportiamo il risultato sotto -1 e sommiamo

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ -1&&&1&&-1&&-4&\\  \hline &-1&&1&&4&&-5&\end{array}

Ultimo passaggio! Moltiplichiamo -1 e -5, riportiamo il risultato sotto 1 e sommiamo

\begin{array}{c|ccccccc|c}&-1&&0&&5&&-1&1\\ &&&&&&&&\\ -1&&&1&&-1&&-4&5\\  \hline &-1&&1&&4&&-5&6\end{array}

Completata la tabella di Ruffini, è giunto il momento di estrapolare il polinomio quoziente e il resto. I termini dell'ultima riga, compresi tra le barre verticali, costituiscono i coefficienti del quoziente, ordinati secondo le potenze decrescenti di x, dunque:

Q(x)=-x^3+x^2+4x-5

L'ultimo elemento della terza riga rappresenta invece il resto, ergo:

R=6

L'esercizio in sé e per sé è giunto al termine: abbiamo ricavato sia il quoziente che il resto della divisione. Anche se non richiesto, possiamo controllare la correttezza dei risultati verificando che la somma tra il resto e il prodotto tra divisore e quoziente coincide con il dividendo. In simboli matematici, vogliamo controllare la veridicità dell'uguaglianza

Q(x)D(x)+R=N(x)

Consideriamo quindi l'espressione polinomiale

(-x^3+x^2+4x-5)(x+1)+6=

Svolgiamo prima di tutto il prodotto tra i polinomi

=-x^4-x^3+x^3+x^2+4x^2+4x-5x-5+6=

dopodiché sommiamo tra loro i monomi simili e scriviamo il risultato:

=-x^4+5x^2-x+1=N(x)

Poiché il polinomio coincide con il dividendo, l'esercizio è svolto correttamente.
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