Prodotto tra polinomi con frazioni

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Prodotto tra polinomi con frazioni #58083

avt
sandruccia
Sfera
Mi servirebbe il vostro aiuto per esprimere in forma normale il prodotto di due polinomi a coefficienti fratti. Non ho riscontrato grosse difficoltà nello svolgere gli altri esercizi, ma quando intervengono le frazioni, il mio cervello si spegne.

Ridurre in forma normale il prodotto della seguente moltiplicazione tra polinomi:

\left(\frac{3}{4}a-\frac{4}{3}\right)\left(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}a\right)

Grazie!
Ringraziano: Omega, Pi Greco, Ifrit, danying, Galois
 
 

Prodotto tra polinomi con frazioni #58122

avt
Ifrit
Amministratore
L'esercizio ci chiede di svolgere la moltiplicazione tra polinomi

\left(\frac{3}{4}a-\frac{4}{3}\right)\left(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}a\right)=

Il primo passaggio prevede di addizionare tra loro i prodotti tra ciascun termine del primo polinomio per il secondo, vale a dire:

=\frac{3}{4}a\left(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}a\right)+\left(-\frac{4}{3}\right)\left(\frac{4}{3}-\frac{3}{4}a\right)=

dopodiché moltiplichiamo i monomi per i polinomi corrispondenti, attenendoci fedelmente alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

=\frac{3}{4}a\cdot\left(\frac{4}{3}\right)+\frac{3}{4}a\cdot\left(-\frac{3}{4}a\right)+\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\left(\frac{4}{3}\right)+\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}a\right)=

Per svolgere i calcoli rimasti, avvaliamoci della regola dei segni, che fornisce i segni da dare ai coefficienti numerici, e della regola sul prodotto di due potenze con la stessa base, con cui calcoliamo gli esponenti da attribuire alle varie lettere.

\\ =\left[\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\right]a+\left[\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\right]a^{1+1}+\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\left(\frac{4}{3}\right)+\left[-\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\right]a=\\ \\ \\ =\left[\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}\right]a+\left[\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\right]a^{2}+\left(-\frac{4}{3}\right)\cdot\left(\frac{4}{3}\right)+\left[-\frac{4}{3}\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\right]a=

Eseguiamo le operazioni tra le frazioni, semplificando in croce ove necessario, e riportiamo il risultato.

=a-\frac{9}{16}a^2-\frac{16}{9}+a=

Il prodotto non è ancora ridotto in forma normale, infatti possiamo sommare tra loro i monomi simili con parte letterale a.

\\ =(1+1)a-\frac{9}{16}a^2-\frac{16}{9}= \\ \\ \\ =2a-\frac{9}{16}a^2-\frac{16}{9}

Ora l'esercizio è concluso!
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Os