Equazione goniometrica di secondo grado con sin(2x)

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Equazione goniometrica di secondo grado con sin(2x) #58077

avt
FAQ
Frattale
Avrei bisogno di una mano per risolvere un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di seno e coseno. Le mie difficoltà risiedono essenzialmente nei calcoli per via della presenza di coefficienti irrazionali, ecco perché vi chiedo di risolverla scrivendo tutti i passaggi.

Risolvere la seguente equazione goniometrica di secondo grado in seno e coseno

\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(2x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

Grazie.
 
 

Equazione goniometrica di secondo grado con sin(2x) #58182

avt
Ifrit
Amministratore
Consideriamo l'equazione goniometrica di secondo grado

\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(2x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

Il nostro obiettivo consiste nel determinare i valori da attribuire all'incognita per fare in modo che l'uguaglianza sia verificata. Per poter ricavare le soluzioni, possiamo procedere in due modi:

Il primo metodo richiede l'uso delle formule di duplicazione

\cos(2x)=2\cos^2(x)-1 \ \ \ , \ \ \ \cos(2x)=1-2\sin^2(x)

grazie alle quali possiamo esprimere i quadrati di seno e coseno in termini di \cos(2x)

\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}\ \ \ \ , \  \ \ \sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}

Rimpiazzando a dovere nell'equazione, essa si riscrive come

\sqrt{3}\cdot\frac{1-\cos(2x)}{2}-\sin(2x)-\sqrt{3}\cdot\frac{1+\cos(2x)}{2}=0

Inizia a questo punto la parte algebrica: calcoliamo il minimo comune multiplo tra i denominatori

\frac{\sqrt{3}(1-\cos(2x))-2\sin(2x)-\sqrt{3}(1+\cos(2x))}{2}=0

moltiplichiamo i due membri per 2 e sviluppiamo i prodotti

\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos(2x)-2\sin(2x)-\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos(2x)=0

Una volta sommati i termini simili, otteniamo l'equazione goniometrica lineare

-2\sin(2x)-2\sqrt{3}\cos(2x)=0

da cui

\sin(2x)+\sqrt{3}\cos(2x)=0

Operiamo a questo punto la sostituzione t=2x (non necessaria in realtà, ma potrebbe aiutare) grazie alla quale otteniamo

\sin(t)+\sqrt{3}\cos(t)=0

Per risolvere questa equazione possiamo avvalerci del metodo dell'angolo aggiunto che consiste nel determinare un numero reale R e un angolo \phi con cui esprimere

\sin(t)+\sqrt{3}\cos(t)

nella forma

R\sin(t+\phi)

Sia R\ \mbox{che} \ \phi si ricavano a partire dai coefficienti di seno e coseno: più esplicitamente detti A\ \mbox{e} \ B rispettivamente il coefficiente di \sin(t) e quello di \sqrt{3}\cos(t)

A=1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ B=\sqrt{3}

il numero reale R si calcola mediante la relazione

R=\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2

Per quanto concerne l'angolo \phi, esso è definito come l'unico angolo appartenente all'intervallo [0,2\pi) che soddisfa il sistema goniometrico

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{B}{R}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{A}{R}\end{cases}

vale a dire

\begin{cases}\sin(\phi)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\ \cos(\phi)=\dfrac{1}{2}\end{cases}

L'unico angolo in [0,2\pi) che realizza entrambe le equazioni è

\phi=\frac{\pi}{3}

]di conseguenza l'equazione si tramuta in una elementare:

2\sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=0\ \ \ \to \ \ \ \sin\left(t+\frac{\pi}{3}\right)=0

Tale equazione è soddisfatta nel momento in cui l'argomento del seno è un multiplo intero di \pi, vale a dire

t+\frac{\pi}{3}=k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Isolando t al primo membro ricaviamo

t=-\frac{\pi}{3}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Adesso non ci resta che ripristinare l'incognita t: poiché t=2x, la precedente relazione si tramuta nell'equazione

2x=-\frac{\pi}{3}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

ossia

x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}

al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

Ricapitolando, l'equazione

\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(2x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

è soddisfatta dalla famiglia di soluzioni

x=-\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2} \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{Z}

Osservazione: il rappresentante della famiglia -\frac{\pi}{6} può essere tranquillamente sostituito con un angolo positivo, a patto che quest'ultimo differisca dal primo di un multiplo intero di \frac{\pi}{2}. A titolo di esempio, possiamo scegliere come nuovo rappresentante

-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}

ed esprimere la famiglia di soluzioni nella forma equivalente

x=\frac{\pi}{3}+\frac{k\pi}{2}\ \ \ \ \mbox{per ogni} \ k\in\mathbb{Z}



Il secondo metodo risolutivo consiste nel dividere i due membri dell'equazione per \cos^2(x) a patto che esso sia diverso da zero. Procedendo in questo modo infatti riusciamo a ricondurci a un'equazione goniometrica di secondo grado espressa in termini di tangente.

Prima di innescare il metodo, è opportuno utilizzare la formula di duplicazione del seno

\sin(2x)=2\cos(x)\sin(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

grazie alla quale

\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(2x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

diventa

\sqrt{3}\sin^2(x)-2\sin(x)\cos(x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

A questo punto effettuiamo un piccolo controllo: in accordo con la relazione fondamentale della goniometria, se \cos^2(x)=0 allora:

\sin(x)=-1 \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \sin(x)=1

Se scriviamo -1 oppure 1 al posto di \sin(x) e 0 al posto di \cos(x), otteniamo l'assurdo

\sqrt{3}=0

Ciò significa che i valori che annullano il coseno, vale a dire

x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

non soddisfano l'equazione.

Se \cos(x)\ne 0 allora anche il suo quadrato è diverso da zero, di conseguenza siamo autorizzati a dividere i membri dell'equazione per \cos^2(x), ottenendo così l'equazione equivalente

\sqrt{3}\cdot\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-2\frac{\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)}-\sqrt{3}\cdot\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=0

che una volta semplificata opportunamente diventa

\sqrt{3}\cdot\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}-2\cdot\frac{\sin(x)}{\cos(x)}-\sqrt{3}=0

Ricordiamo che per definizione il rapporto tra \sin(x)\ \mbox{e} \ \cos(x) coincide con \tan(x), pertanto siamo autorizzati a riscrivere la precedente relazione come:

\sqrt{3}\tan^2(x)-2\tan(x)-\sqrt{3}=0

Operiamo la sostituzione y=\tan(x) grazie alla quale otteniamo l'equazione di secondo grado

\sqrt{3}y^2-2y-\sqrt{3}=0

con coefficienti

a=\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ b=-2 \ \ \ , \ \ \ c=-\sqrt{3}

Poiché il coefficiente di y è un numero facilmente divisibile per 2, possiamo calcolare le soluzioni con la formula del delta quarti

\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=1-\sqrt{3}\cdot(-\sqrt{3})=4

pertanto

\\ y_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{1\pm\sqrt{4}}{\sqrt{3}}= \\ \\ \\ =\frac{1\pm2}{\sqrt{3}}=\begin{cases}\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}=y_1\\ \\ -\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}=y_2\end{cases}

Le soluzioni di

\sqrt{3}y^2-2y-\sqrt{3}=0

sono quindi

y=\sqrt{3} \ \ \ , \ \ \ y=-\frac{\sqrt{3}}{3}

Adesso è giunto il momento di ripristinare l'incognita x: poiché y=\tan(x) la relazione

y=\sqrt{3}

si traduce nell'equazione goniometrica elementare

\tan(x)=\sqrt{3}

che fornisce la famiglia di soluzioni

x=\frac{\pi}{3}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

La relazione

y=-\frac{\sqrt{3}}{3}

si traduce nell'equazione

\tan(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}

soddisfatta dalla famiglia

x=\frac{5\pi}{6}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Finalmente disponiamo di tutti gli elementi per concludere l'esercizio: l'equazione

\sqrt{3}\sin^2(x)-\sin(2x)-\sqrt{3}\cos^2(x)=0

è soddisfatta dalle famiglie

\\ x=\frac{\pi}{3}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z} \\ \\ \\ x=\frac{5\pi}{6}+k\pi \ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

Ecco fatto!
Ringraziano: frank094
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Os