Studiare equazione parametrica fratta di primo grado

Prima di postare leggi le regole del Forum. Puoi anche leggere le ultime discussioni.

Studiare equazione parametrica fratta di primo grado #58056

avt
xavier310
Sfera
Mi è capitata un'equazione letterale fratta con un parametro che non so risolvere, o meglio, non capisco come raggiungere i risultati proposti. Potreste aiutarmi?

Analizzare la seguente equazione letterale fratta di primo grado al variare del parametro reale k e, se è possibile, determinare l'insieme soluzione

\frac{1}{k+x}+\frac{2}{k-x}-\frac{k x}{k^2-x^2}=0

Grazie.
Ringraziano: Pi Greco, Ifrit, Galois, CarFaby
 
 

Studiare equazione parametrica fratta di primo grado #58346

avt
Omega
Amministratore
Consideriamo l'equazione letterale fratta di primo grado

\frac{1}{k+x}+\frac{2}{k-x}-\frac{k x}{k^2-x^2}=0

Per prima cosa, scomponiamo il denominatore che presenta una differenza di quadrati

\frac{1}{k+x}+\frac{2}{k-x}-\frac{kx}{(k+x)(k-x)}=0

Impostiamo ora le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita e il parametro siano non nulli: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

Per quanto concerne il primo denominatore, ricaviamo la disuguaglianza:

k+x\ne 0 \ \ \to \ \  x\ne -k

per il secondo invece:

k-x\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne k

Il terzo richiede l'uso della legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono diversi da zero. Scriviamo quindi:

(k+x)(k-x)\ne 0 \ \ \to \ \ k+x\ne 0 \ \wedge \ k-x\ne 0 \ \ \to \ \ x\ne -k \ \wedge \ x\ne k

dove \wedge indica il connettivo logico "e".

In definitiva, le condizioni di esistenza associate all'equazione sono:

C.E.: x\ne -k \ \wedge \ x\ne k

Torniamo all'equazione ed eseguiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale, partendo dal calcolo del minimo comune multiplo tra i polinomi ai denominatori

\frac{k-x+2(k+x)-kx}{(k+x)(k-x)}=0

Sotto il vincolo delle C.E., possiamo tranquillamente cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente

\\ k-x+2(k+x)-kx=0 \\ \\ k-x+2k+2x-kx=0

Scriviamo il polinomio al primo membro raccogliendo parzialmente l'incognita

(1-k)x+3k=0

da cui

(1-k)x=-3k

Iniziamo la discussione in base al valore assunto dal coefficiente di x.

Se il coefficiente di x è zero, ossia se:

1-k=0 \ \ \to \ \ k=1

l'equazione diventa impossibile

(1-1)x=-3\cdot 1 \ \ \to \ \ 0=-3

Se il coefficiente di x non nullo, ossia se

1-k\ne 0 \ \ \to \ \ k\ne 1

siamo autorizzati a dividere i due membri per 1-k, ottenendo così:

x=\frac{-3k}{1-k}

che grazie alla regola dei segni diventa

x=\frac{3k}{k-1}

La soluzione trovata è accettabile se e solo se sono verificati i due vincoli x\ne-k e x\ne k.

Dal vincolo x\ne -k otteniamo la disuguaglianza:

\frac{3k}{k-1}\ne - k \ \ \to \ \ \frac{3k}{k-1}+k\ne 0

da cui

\frac{3k+k^2-k}{k-1}\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{k^2+2k}{k-1}\ne 0

Cancellando il denominatore, la disuguaglianza diventa

k^2+2k\ne 0

Raccogliamo totalmente k e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, ottenendo così i valori di k per cui la soluzione non è accettabile

k(k+2)\ne 0 \ \ \to \ \ k\ne 0 \ \wedge \ k\ne -2

Sottolineiamo che k=0, le condizioni di esistenza x\ne -k\ \wedge  \ x\ne k si riducono a

C.E.: x\ne 0

d'altro canto la soluzione

x=\frac{3k}{k-1}

diventa x=0, violando le C.E. ecco perché l'equazione non ammette soluzioni e in quanto tale è impossibile.

Se k=-2, le condizioni di esistenza diventano

C.E.\ :\ x\ne -2 \ \wedge \ x\ne 2

e la soluzione

x=\frac{3k}{k-1}

diventa

x=\frac{3\cdot (-2)}{-2-1} \ \ \to \ \ x=2

che è chiaramente non accettabile, e anche in questo caso l'equazione è impossibile.

Analizziamo ora il vincolo x\ne k, dal quale segue la disuguaglianza

\frac{3k}{k-1}\ne k \ \ \to \ \ \frac{3k}{k-1}-k\ne 0

da cui

\frac{3k-k^2+k}{k-1}\ne 0\ \ \to \ \ \frac{4k-k^2}{k-1}\ne 0

Per k\ne 1 eliminiamo il denominatore

4k-k^2\ne 0

e una volta raccolto totalmente k ricaviamo una disuguaglianza che possiamo analizzare utilizzando nuovamente la legge di annullamento del prodotto:

k(4-k)\ne 0 \ \ \to \ \ k\ne 0 \ \wedge \ k\ne 4

Se k=0 \ \vee \ k=4 la soluzione x=\frac{3k}{k-1} non è accettabile perché viola le condizioni di esistenza, pertanto l'equazione è impossibile.

Ora disponiamo di tutte le informazioni per concludere l'esercizio:

- se

k=-2\ \vee \ k=0\ \vee \ k=1 \ \vee \ k=4

l'equazione è impossibile e l'insieme delle soluzioni è il vuoto;

- se invece

k\ne -2\ \wedge \ k\ne 0 \ \wedge \ k\ne 1 \ \wedge \ k\ne 4

l'equazione è determinata e ammette come soluzione

x=\frac{3k}{k-1}

Abbiamo finito.
Ringraziano: Pi Greco, xavier310, Galois, CarFaby
  • Pagina:
  • 1
Os