Studiare equazione parametrica fratta di primo grado

Mi è capitata un'equazione letterale fratta con un parametro che non so risolvere, o meglio, non capisco come raggiungere i risultati proposti. Potreste aiutarmi?

Analizzare la seguente equazione letterale fratta di primo grado al variare del parametro reale e, se è possibile, determinare l'insieme soluzione



Grazie.

Consideriamo l'equazione letterale fratta di primo grado



Per prima cosa, scomponiamo il denominatore che presenta una differenza di quadrati



Impostiamo ora le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori contenenti l'incognita e il parametro siano non nulli: ricordiamo infatti che non è possibile dividere per zero.

Per quanto concerne il primo denominatore, ricaviamo la disuguaglianza:



per il secondo invece:



Il terzo richiede l'uso della legge di annullamento del prodotto: il prodotto al primo membro è non nullo se e solo se entrambi i fattori che lo compongono sono diversi da zero. Scriviamo quindi:



dove indica il connettivo logico "e".

In definitiva, le condizioni di esistenza associate all'equazione sono:



Torniamo all'equazione ed eseguiamo i passaggi algebrici che consentono di esprimerla in forma normale, partendo dal calcolo del minimo comune multiplo tra i polinomi ai denominatori



Sotto il vincolo delle C.E., possiamo tranquillamente cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione equivalente



Scriviamo il polinomio al primo membro raccogliendo parzialmente l'incognita



da cui



Iniziamo la discussione in base al valore assunto dal coefficiente di .

Se il coefficiente di è zero, ossia se:



l'equazione diventa impossibile



Se il coefficiente di non nullo, ossia se



siamo autorizzati a dividere i due membri per , ottenendo così:



che grazie alla regola dei segni diventa



La soluzione trovata è accettabile se e solo se sono verificati i due vincoli e .

Dal vincolo otteniamo la disuguaglianza:



da cui



Cancellando il denominatore, la disuguaglianza diventa



Raccogliamo totalmente e sfruttiamo la legge di annullamento del prodotto, ottenendo così i valori di per cui la soluzione non è accettabile



Sottolineiamo che , le condizioni di esistenza si riducono a



d'altro canto la soluzione



diventa , violando le C.E. ecco perché l'equazione non ammette soluzioni e in quanto tale è impossibile.

Se , le condizioni di esistenza diventano



e la soluzione



diventa



che è chiaramente non accettabile, e anche in questo caso l'equazione è impossibile.

Analizziamo ora il vincolo , dal quale segue la disuguaglianza



da cui



Per eliminiamo il denominatore



e una volta raccolto totalmente ricaviamo una disuguaglianza che possiamo analizzare utilizzando nuovamente la legge di annullamento del prodotto:



Se la soluzione non è accettabile perché viola le condizioni di esistenza, pertanto l'equazione è impossibile.

Ora disponiamo di tutte le informazioni per concludere l'esercizio:

- se



l'equazione è impossibile e l'insieme delle soluzioni è il vuoto;

- se invece



l'equazione è determinata e ammette come soluzione



Abbiamo finito.