Quadrato di un trinomio con coefficienti fratti

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Quadrato di un trinomio con coefficienti fratti #58054

avt
davide14
Cerchio
Mi è capitato un esercizio in cui mi viene chiesto di sviluppare il quadrato di un trinomio a coefficienti fratti. Come mi devo comportare in questi casi?

Usare l'opportuno prodotto notevole per sviluppare la seguente potenza:

\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x y+y^2\right)^2

Grazie.
 
 

Quadrato di un trinomio con coefficienti fratti #58705

avt
Ifrit
Ambasciatore
L'esercizio ci chiede di sviluppare la seguente potenza

\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x y+y^2\right)^2

Se osserviamo bene, l'espressione identifica il quadrato di un trinomio, pertanto possiamo avvalerci del prodotto notevole

(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC

Esso consente di scrivere il quadrato della somma di tre termini come la somma tra il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo e quello del terzo, a cui aggiungiamo il doppio prodotto del primo per il secondo, il doppio prodotto tra il primo e il terzo e il doppio prodotto tra il primo e il terzo.

Analizziamo il trinomio base. Esso è formato dai termini

A=\frac{1}{3}x \ \ \ , \ \ \ B=\frac{1}{2}xy \ \ \ \mbox{e} \ \ \ y^2

per cui il prodotto notevole consente di scrivere la relazione:

\\ \left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}xy+y^2\right)^2= \\ \\ \\ =\left(\frac{1}{3}x\right)^2+\left(\frac{1}{2}xy\right)^2+\left(y^2\right)^2+2\cdot\frac{1}{3}x\cdot\frac{1}{2}x y+2\cdot\frac{1}{3}x\cdot y^2+2\cdot\frac{1}{2}xy\cdot y^2=

Sebbene siano espressi con le frazioni, i coefficienti dei termini non hanno ostacolato la risoluzione dell'esercizio. Potrebbero comunque sorgere alcune difficoltà nel caso in cui non si sappiano usare le proprietà delle potenze oppure se vi sono dubbi su come svolgere le operazioni con le frazioni.

Per la regola sulla potenza di un prodotto e la regola relativa alla potenza di una potenza, l'espressione precedente diventa

\\ =\left(\frac{1}{3}\right)^2x^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2x^2y^2+y^{2\cdot 2}+\frac{2}{6}x^2y+\frac{2}{3}xy^2+\frac{2}{3}xy^2= \\ \\ \\ =\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{4} x^2y^2+y^{4}+\frac{1}{3}x^2y+\frac{2}{3}xy^2+xy^3

In definitiva, lo sviluppo della potenza

\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}x y+y^2\right)^2=

è

=\frac{1}{9}x^2+\frac{1}{4} x^2y^2+y^{4}+\frac{1}{3}x^2y+\frac{2}{3}xy^2+xy^3

Abbiamo finito.
Ringraziano: Omega
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Os