Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica fratta con 1 parametro

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Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica fratta con 1 parametro #57917

avt
*Laura*
Punto
Ho bisogno di un aiuto per risolvere un esercizio sulle equazioni letterali di primo grado fratte, in cui mi viene chiesto di determinare le soluzioni al variare di un parametro reale.

Calcolare le soluzioni dell'equazione parametrica fratta di primo grado

\frac{1}{x-1}=\frac{a}{x+1}

al variare del parametro reale a.

Grazie.
 
 

Studiare le soluzioni di un'equazione parametrica fratta con 1 parametro #57918

avt
Galois
Amministratore
Consideriamo l'equazione parametrica di primo grado

\frac{1}{x-1}=\frac{a}{x+1}

Proprio perché l'incognita compare nei denominatori, essa è più propriamente un'equazione letterale fratta. Imponiamo le condizioni di esistenza, richiedendo che i denominatori siano non nulli

x-1\ne 0 \ \wedge \ x+1\ne 0

da cui ricaviamo:

C.E. : x\ne 1 \ \wedge \ x\ne -1

Il nostro compito consiste nell'esprimere l'equazione in forma normale, trasportando tutti i termini al primo membro e calcolando in seguito il minimo comune multiplo tra i polinomi x-1 \ \mbox{e} \ x+1

\\ \frac{1}{x-1}-\frac{a}{x+1}=0\\ \\ \\ \frac{x+1-a(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0

Sotto le condizioni di esistenza, possiamo cancellare il denominatore, ricavando così l'equazione

x+1-ax+a=0

vale a dire

(1-a)x=-a-1

Se il coefficiente di x è zero, ossia se

1-a=0 \ \ \to \ \ a=1

otteniamo un'equazione senza incognite che individua un'identità falsa

0\cdot x =-2 \ \ \to \ \ 0=-2

dunque l'equazione è impossibile.

Se a\ne 1, possiamo dividere i membri dell'equazione per 1-a ottenendo:

x=\frac{-a-1}{1-a}

Purtroppo non abbiamo finito: dobbiamo escludere i valori di a per i quali x viola le condizioni di esistenza.

Dalla condizione x\ne -1 ricaviamo l'equazione

\frac{-a-1}{1-a}\ne -1 \ \ \to \ \ \frac{-a-1}{1-a}+1\ne 0

da cui

\frac{-a-1+1-a}{1-a}\ne 0\ \ \to \ \ \frac{-2a}{1-a}\ne 0\ \ \to \ \ a\ne 0

Affinché la soluzione x=\frac{-a-1}{1-a} rispetti il vincolo x\ne -1, dobbiamo richiedere che il parametro a sia diverso da 0.

Nel caso in cui a=0, l'equazione originaria diventa

\frac{1}{x-1}=\frac{0}{x+1} \ \ \to \ \ \frac{1}{x-1}=0

che è chiaramente impossibile.

Dalla condizione x\ne 1, ricaviamo la relazione

\frac{-a-1}{1-a}\ne 1 \ \ \to \ \ \frac{-a-1}{1-a}-1\ne 0

vale a dire

\frac{-a-1-1+a}{1-a}\ne 0 \ \ \to \ \ \frac{-2}{1-a}\ne 0

Dall'ultima relazione scopriamo che la condizione x\ne 1 è sempre rispettata, indipendentemente dal valore assunto dal parametro a\ne 1.

Traiamo le dovute conclusioni:

- se a=0 \ \vee \ a=1, l'equazione non ammette soluzioni ed è, pertanto, impossibile;

- se a\ne 0\ \wedge \ a\ne 1, l'equazione è determinata con soluzione

x=\frac{-a-1}{1-a}

Abbiamo finito!
Ringraziano: Omega
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Os